Esélyek és meglepetések · 3 perc olvasás
Tízpercenként jön busz, mégis nyolc percet vársz?
Az egyik járat pontosan tízpercenként érkezik. A másiknál két perc után jön a következő busz, aztán tizennyolc percig egy sem. Mindkettő átlagos követési ideje tíz perc. A megállóba véletlen időpontban érkező utas mégis egészen más átlagos várakozást tapasztal.
Ebben a cikkben
A szabályos tízperces járatnál valóban öt perc az átlag
Kezdjünk egy saját, ideális modellel. A busz pontosan minden tizedik percben megérkezik, az utas érkezése a busztól független, az időben egyenletes. Az utas ugyanakkora eséllyel jut a tízperces időköz elejére, közepére vagy végére. A várakozás 0 és 10 perc között egyenletes, így az átlaga 5 perc.
Ebben a feladatban mindenki felszáll az első érkező buszra. Nincs megtelt jármű, kimaradó járat vagy éjszakai üzemszünet. A véletlen érkezés különösen fontos feltétel: aki menetrendből vagy élő kijelzőből választ indulást, annak várakozását más érkezési szabállyal kell modellezni.
A hosszú szünetbe kilencszer könnyebb beleérkezni
Most a követési idők felváltva 2 és 18 perc hosszúak. A húszperces ismétlődő ciklusban két busz érkezik, az időközök számtani átlaga (2 + 18) / 2 = 10 perc. Egy véletlen időpont azonban a rövid szünetbe 2 / 20 = 10%, a hosszúba 18 / 20 = 90% eséllyel esik.
A rövid időközbe érkező utas átlagosan 1 percet, a hosszúba érkező 9 percet vár. Az összes utasra jutó átlag 0,1 × 1 + 0,9 × 9 = 8,2 perc, vagyis 8 perc 12 másodperc. Ez 64%-kal hosszabb az ötperces várakozásnál, miközben a buszok átlagos követési ideje változatlan.
Az időköz hossza kétszer is szerepet kap
Egy t perces időközbe t-vel arányos eséllyel érkezünk, és azon belül átlagosan t/2 percet várunk. A két szorzatból t²/2 adódik. Egy teljes ismétlődő menetrendi ciklus t₁, t₂, … időközeivel az átlagos várakozás ezért (t₁² + t₂² + …) / [2 × (t₁ + t₂ + …)]. Ez a hossz szerint súlyozás a várakozási paradoxon alapja.
A képlet 2 és 18 percnél (4 + 324) / 40 = 8,2 percet ad. Ha a buszok felváltva 5 és 15 percet hagynak egymás között, az átlagos követés továbbra is 10 perc, a várakozás viszont (25 + 225) / 40 = 6,25 perc. Az egyenletesebb érkezés ebben a modellben változatlan járatszámmal is rövidíti az utasok átlagos várakozását.
A busz és az utas más átlagot tapasztal
Ha az időközöket egyesével írjuk fel, a 2 és 18 perces szünet azonos gyakoriságú. Ha időpontokat választunk, a hosszabb szünet több helyet foglal a mintában. Az MIT városi szolgáltatásokról szóló anyaga ezt véletlen időpontú megfigyelésként tárgyalja, és hangsúlyozza az érkezési folyamat és a megfigyelő választása közötti kapcsolatot.
A paradoxon tehát nem állítja, hogy minden utasnak sokat kell várnia. A rövid szünet szerencsés érkezője hamar felszáll. Az összesített utasélményt mégis a hosszú szünetek nagy időbeli részesedése húzza felfelé. Egy mérésben ezért tisztázni kell, a járatok közötti időket vagy az utasok tényleges várakozásait átlagolták.
Mit mérnél egy valódi megállóban?
Jegyezd fel a tényleges buszérkezéseket, és külön az utasok érkezését. Egy iskola kicsöngetése vagy egy átszálló vonat nagy utascsoportot hozhat egyszerre; ilyenkor az utasok időbeli érkezése eltér az egyenletestől. Ha a busz megtelik, a követési időből számolt eredmény a felszállásig tartó várakozást is alábecsülheti.
A példaszámítás arra jó, hogy megmutassa az ingadozás önálló árát. A menetrendben szereplő tízperces átlag mellé érdemes a hosszú szünetek gyakoriságát és az utasok várakozási eloszlását is odatenni. Ugyanannyi indulás közül a kiszámíthatóbb elosztás a véletlenül érkezőknek kézzelfogható időnyereséget adhat.
A példák és a források
A számpéldák saját, szemléltető feladatok; a megadott feltételezésekből és képletekből újraszámolhatók. Valós vállalkozásra, országos statisztikára vagy jövőbeli eredményre nem vonatkoznak.
Forrásellenőrzés: 2026-11-09. A hivatkozások a fogalmakat és a módszert támasztják alá; a példaszámítások a cikk részei.
Négy kérdés a cikkhez
A válaszokból kiderül, melyik összefüggést érted már, és melyik részt érdemes újraolvasnod. A válaszokat és a pontszámot nem mentjük.
