Tretina množstva, 1,5-násobok receptu a pomer dvoch látok 2:3 sú tri rôzne formulácie. Každú z nich možno riešiť pomocou zlomkov, ale najprv je potrebné pomenovať, o akej časti čoho hovoríme. Výpočet sa pokazí, ak pomýliš pôvodné množstvo so zvyškom alebo ak pomer vzťahujúci sa k jednej zložke čítaš ako podiel z celej zmesi.
Kalkulačka zlomkov okrem operácií zobrazuje aj presný zlomok a desatinný tvar. Vo všetkých nasledujúcich príkladoch sú vstupné množstvá ilustračné údaje. Cieľom je vytvoriť postup uvažovania, ktorý môžeš preniesť na vlastné suroviny, odváženie materiálu alebo školskú úlohu.
Najprv urči celok
Zlomok 3/4 znamená, že z celku rozdeleného na štyri rovnaké časti odoberieš tri. Ak je celok 800 gramov, potom jedna štvrtina je 200 gramov a tri štvrtiny sú 600 gramov. Ak je celkom 12 porcií, potom tri štvrtiny celkového množstva tvoria 9 porcií. Zlomok sám o sebe určuje pomer; množstvo získaš až v súvislosti s celkom.
Čitateľ je hore, menovateľ dole. Menovateľ je rôzny od nuly. Zlomky 6/8 a 3/4 opisujú ten istý pomer, pretože čitateľa aj menovateľa sme vydelili dvomi. Zjednodušený tvar sa ľahšie kontroluje, najmä pri na seba nadväzujúcich operáciách.
Kapitola OpenStax o pomeroch zdôrazňuje aj poradie a jednotky porovnávaných veličín. Vo formulácii „pomer A k B“ je podielom A / B. Pre časť z celku je však potrebné A / (A + B).
Recept v 1,5-násobnom množstve: zachovaj presný násobiteľ
Predpokladajme, že recept je na 8 kusov a chceš pripraviť 12 kusov. Násobiteľ je 12 / 8 = 3/2 = 1,5. V recepte je 360 g múky, 240 g tekutiny a 12 g ďalšej suroviny. Nové množstvá budú 540 g, 360 g a 18 g.
V kalkulačke porcií receptu môžeš pracovať na základe pôvodného a požadovaného počtu porcií. Najprv prepočítaj celý recept, potom vykonaj zaokrúhlenie potrebné v praxi. Ak necháš časť surovín v pôvodnom počte porcií, zmení sa pomer receptu.
Pre 5 kusov je násobiteľ prepočtu 5/8. Z 360-gramovej suroviny potrebuješ 225 gramov, z 240-gramovej 150 gramov a z 12-gramovej 7,5 gramu. Tu je dobre vidieť, že zlomkový tvar násobiteľa vôbec nekomplikuje výpočet: 360 × 5 / 8 je tiež 225.
Praktické odváženie surovín uvedených v kusoch je samostatná otázka. Jeden a pol kusa suroviny je teoretické množstvo; ak je deliteľné na hmotnosť, môžeš ju dávkovať podľa váhy. Samotný prepočet neurčuje čas pečenia ani kapacitu náradia.
Rozklad pomeru 2:3 z celkového množstva
V ilustračnej zmesi je hmotnostný pomer látok A a B 2:3 a požadovaná celková hmotnosť je 750 g. Súčet dielov pomeru je 2 + 3 = 5. Jeden diel je 750 / 5 = 150 g. Z látky A je potrebných 2 × 150 = 300 g, z látky B 3 × 150 = 450 g.
V celej zmesi je podiel A 2/5 = 40%, podiel B 3/5 = 60%. Podiel A / B je však 2/3, teda približne 66,67%. Hodnoty 40% a 66,67% patria k rôznym základom porovnania. Obe môžu byť správne, ak text presne uvádza, na čo sa vzťahujú.
Ak už máš 180 g látky A a chceš ju celú použiť, jeden diel pomeru je 90 g. Z látky B potrebuješ 270 g, celková zmes bude mať 450 g. Táto úloha má opačný smer: vychádzaš z jednej zložky a podľa nej prepočítavaš ostatné.
Hmotnostný pomer a objemový pomer vždy označuj osobitne. Rozdiel je číselne viditeľný aj vo vlastnom príklade dávkovania. Nech hustota A je 0,80 g/ml a hustota B je 1,20 g/ml pri teplote dávkovania. K zmesi s hmotnosťou 750 g a hmotnostným pomerom 2:3 sme skôr dostali 300 g A a 450 g B. Osobitne odmerané objemy sú:
- A: 300/0,80 = 375 ml.
- B: 450/1,20 = 375 ml.
V tomto príklade teda hmotnostný pomer 2:3 zodpovedá objemovému pomeru dávkovania 1:1. Ak by niekto namiesto toho odmeral 300 ml A a 450 ml B, do zmesi by sa dostalo 240 g a 540 g. Hmotnostný podiel by bol 240/780 ≈ 30,77% namiesto stanoveného cieľa 40%.
Hustoty sú tu predpokladané údaje o látke; pre skutočný výpočet použi príslušné údaje konkrétnej zložky. Údaj 375 ml + 375 ml sú dve osobitne odmerané dávky. Aj definícia objemového zlomku podľa IUPAC vychádza z objemov zložiek pred zmiešaním. Ak úloha vyžaduje objem hotovej zmesi, zmeraj ho osobitne alebo ho vypočítaj zo známej hustoty hotovej zmesi. Súčet 300 + 450 = 750 g zostáva na základe zachovania hmotnosti platný, pokiaľ nedochádza k stratám materiálu.
Ako z existujúcej 40% zmesi urobiť 50%?
V predchádzajúcej zmesi s hmotnosťou 750 g je 300 g A a 450 g B. Teraz chceš zvýšiť hmotnostný podiel A na 50% výhradne pridaním čistého A. Takto sú dosiahnuteľné ciele nad 40%, ale pod 100%. Týmto spôsobom nie je možné znížiť podiel; presne na 100% sa nedostaneš konečným pridávaním, pretože 450 g B zostáva v zmesi. Pridaných x gramov zvyšuje čitateľa aj celkovú hmotnosť:
(300 + x) / (750 + x) = 1/2.
Po vynásobení dvomi dostaneme 600 + 2x = 750 + x, preto x = 150 g. Na konci bude 450 g A a 450 g B, spolu 900 g. Kontrola pomeru je 450 / 900 = 1/2.
Je ľahké začať nesprávne tak, že polovica z 750 g je 375 g, takže chýba len 375 − 300 = 75 g A. Lenže po pridaní by celková hmotnosť bola už 825 g. Potom by podiel A bol 375 / 825 = 5/11, teda približne 45,45%, takže cieľ nie je splnený.
Iná je úloha, ak celková hmotnosť musí zostať 750 g. Predpokladajme, že z rovnomerne premiešanej látky odoberieš x gramov a nahradíš ich rovnakým množstvom čistého A. Odoberaná časť obsahuje 40% A, takže konečná hmotnosť A je 300 − 0,4x + x. Tá musí byť 375 g:
300 + 0,6x = 375, teda x = 125 g.
V odoberaných 125 g zmesi je 50 g A a 75 g B. Po doplnení zostane z A 300 − 50 + 125 = 375 g, z B 450 − 75 = 375 g. Celková hmotnosť zostáva nezmenená, 750 g.
Dva výsledky patria k rôznym operáciám: pridanie 150 g pri rastúcej celkovej hmotnosti a výmena 125 g pri nezmenenej celkovej hmotnosti. Zloženie odoberanej látky 40% platí len pri rovnomernej zmesi. Príklad je hmotnostná bilancia; neurčuje miešateľnosť, použiteľnosť ani bezpečné zloženie konkrétnej dvojice surovín.
Sčítanie rôznych zlomkových častí
Tretinu (1/3) zásoby použiješ na prvú úlohu, štvrtinu (1/4) pôvodnej zásoby na druhú. Spoločný menovateľ je 12, preto 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12. Zvyšok je 1 − 7/12 = 5/12.
Ak bola zásoba 960 g, prvé použitie bolo 320 g, druhé 240 g a zvyšok 400 g. Na kontrolu: 320 + 240 + 400 = 960. Jednoduché sčítanie čitateľov a menovateľov, teda výsledok 2/7, by bolo v tejto úlohe chybné.
Iný výsledok dostaneš, ak na druhú úlohu použiješ štvrtinu zostávajúcej zásoby. Po prvom použití zostane 640 g. Jedna štvrtina z toho je 160 g, takže na konci zostane 480 g. Jediný rozdiel medzi týmito dvoma vetami, slovo „pôvodná“ a „zostávajúca“, mení výsledok o 80 gramov.
Prečo pri delení násobiť prevrátenou hodnotou druhého zlomku?
Máš 3/4 litra tekutiny a jedna porcia je 1/8 litra. Počet porcií je 3/4 / (1/8) = 3/4 × 8 = 6. Výpočet sa pýta, koľkokrát sa jedna osmina zmestí do troch štvrtín. Po rozložení na osminy je 3/4 = 6/8, takže výsledok je priamo overiteľný.
Ak je jedna porcia 1/5 litra, teoretický počet porcií je 15/4 = 3,75. Naplníš tri celé porcie a zostane 0,15 litra. Na štyri celé porcie by bolo potrebných 0,8 litra, takže chýba 0,05 litra. Počet celých porcií zaokrúhľuješ nadol, potrebný nákupný počet kusov často nahor. Rozhodnutie závisí od významu úlohy.
Skontroluj jednotky: 3/4 litra je 750 mililitrov, 1/8 litra je 125 mililitrov. Aj 750 / 125 je 6. Prevodník jednotiek pomôže previesť vstupy na spoločnú jednotku pred sčítaním alebo delením.
Desatinné čísla, zaokrúhľovanie a rozlíšenie váh
0,75 je presne 3/4, 0,2 je presne 1/5. 0,33 je však 33/100, čo sa líši od 1/3. Ak množstvo škáluješ mnohokrát, skoré orezanie desatinných miest môže spôsobiť citeľnú odchýlku. Tretinu je vhodné ponechať v tvare zlomku až do konca výpočtu.
Tretina zo zásoby s hmotnosťou 2700 gramov je presne 900 g. S násobiteľom 0,33 by vyšlo 891 g, teda chýbalo by 9 g. Tento príklad je čisto výpočtová odchýlka; vlastná neistota váhy môže byť prítomná nezávisle od toho.
Potrebné zaokrúhlenie zvoľ podľa nástroja a úlohy. Na váhe zobrazujúcej gramy je priame odčítanie cieľovej hodnoty 7,5 g obmedzené. Viac desatinných miest v kalkulačke samo o sebe nezlepšuje schopnosť merania.
Jedna overiteľná pracovná postupnosť
Pred každou úlohou napíš krátku vetu: „Odoberiem tretinu z pôvodnej zásoby 960 g“. Potom zaznamenaj zlomok, zjednoť jednotky a vykonaj operáciu. Na konci sčítaj použité a zostávajúce časti alebo skontroluj pomer spätným násobením.
Materiál OpenStax o úmernostiach poskytuje ďalšie príklady na prácu s rovnakými pomermi. Tvoj výpočet bude ľahko znovu použiteľný, ak k výsledku zapíšeš aj základ porovnania. Zápis „300 g, čo je 40% z celej zmesi s hmotnosťou 750 g“ je jednoznačnejší ako samostatne stojace 40%.
Záverečná skúška vedomostí
Pri každej otázke označ jednu odpoveď. Každá správna odpoveď je 1 bod; nesprávna, vynechaná alebo otázka označená viacerými odpoveďami je 0 bodov. Celkovo je možné získať 0–3 body. Riešenia si prečítaj až po odpovedaní.
1. Koľko je látky A v zmesi A:B s hmotnosťou 750 g a hmotnostným pomerom 2:3?
- A) 300 g.
- B) 500 g.
- C) 450 g.
2. K tejto zmesi pridávaš len čistú látku A, aby podiel A bol 50%. Koľko A je potrebné?
- A) 75 g.
- B) 150 g.
- C) 125 g.
3. Zo zásoby 960 g odoberieš tretinu, potom aj štvrtinu zo zvyšku. Koľko zostane?
- A) 480 g.
- B) 560 g.
- C) 400 g.
Riešenia a bodovanie
1. A. Je spolu päť dielov pomeru; A dostáva dva: 750 × 2/5 = 300 g. A/B a A/(A+B) sú rôzne podiely. Na zopakovanie: Rozklad pomeru 2:3 z celkového množstva.
2. B. Na základe (300 + x)/(750 + x) = 1/2 je x = 150 g. Pridaná látka zvyšuje aj celkovú hmotnosť. Na zopakovanie: Ako z existujúcej 40% zmesi urobiť 50%?.
3. A. Po prvom odobratí zostane 640 g; štvrtina z toho je 160 g. Konečné množstvo je 480 g. Druhý zlomok sa tu vzťahuje na zvyšok. Na zopakovanie: Sčítanie rôznych zlomkových častí.
Každá správna odpoveď je 1 bod; nesprávna alebo vynechaná odpoveď je 0 bodov. Celkový počet bodov môže byť 0–3.
- 0 bodov: znovu prejdi časti označené v troch riešeniach a zapíš počiatočné podmienky príkladov.
- 1 bod: pri dvoch chybných otázkach odvoď správnu odpoveď; osobitne pripíš, ktorá podmienka chýbala alebo ktorý výpočtový krok bol vynechaný.
- 2 body: vráť sa k časti prislúchajúcej jedinej chybnej otázke, potom zmenou jedného vstupu znovu skontroluj výsledok.
- 3 body: tri súvislosti v tejto sérii úloh si použil správne. Skús jednu z kontrol z článku s vlastnými údajmi a zaznamenaj podmienky aj jednotky.
Preložené a upravené z maďarského článku: Maďarský originál článku.