O treime dintr-o cantitate, o rețetă de 1,5 ori mai mare și proporția 2:3 dintre două substanțe sunt trei formulări diferite. Fiecare poate fi gestionată prin fracții, dar mai întâi trebuie să numești despre ce parte a întregului vorbești. Calculul devine incorect dacă confunzi cantitatea inițială cu restul sau dacă interpretezi proporția raportată la o componentă ca fiind proporția din amestecul total.
Calculatorul de fracții afișează, pe lângă operații, fracția exactă și forma zecimală. În exemplele de mai jos, fiecare cantitate de intrare este o valoare ilustrativă. Scopul este să dezvolți un raționament pe care îl poți aplica și la propriile ingrediente, la calculul randamentului sau la sarcini școlare.
Definește mai întâi întregul
Fracția 3/4 înseamnă că iei trei din cele patru părți egale ale întregului. Dacă întregul este 800 grame, atunci un sfert este 200 grame, iar trei sferturi sunt 600 grame. Dacă întregul este o porție de 12 bucăți, atunci o porție de trei sferturi este 9 bucăți. Fracția în sine indică proporția; cantitatea o obții raportând-o la întreg.
Numărătorul este sus, numitorul jos. Numitorul este diferit de zero. Fracțiile 6/8 și 3/4 descriu aceeași proporție, deoarece am împărțit atât numărătorul, cât și numitorul la doi. Forma simplificată este mai ușor de verificat, mai ales la operații succesive.
Capitolul OpenStax despre proporții subliniază și ordinea și unitățile cantităților comparate. În formularea „proporția lui A față de B”, A / B este câtul. Pentru partea ocupată din total, însă, este necesar A / (A + B).
Din rețetă la porție de 1,5 ori mai mare: păstrează factorul multiplicativ exact
Să presupunem că o rețetă este pentru 8 bucăți și vrei să prepari 12 bucăți. Factorul este 12 / 8 = 3/2 = 1,5. Rețeta conține 360 g făină, 240 g lichid și 12 g dintr-un alt ingredient. Noile cantități vor fi 540 g, 360 g și 18 g.
În calculatorul de porții pentru rețete poți lucra pe baza numărului inițial și dorit de porții. Mai întâi redimensionează întreaga rețetă, apoi efectuează rotunjirea necesară în practică. Dacă lași o parte din ingrediente la numărul inițial de porții, proporțiile rețetei se modifică.
Pentru cinci bucăți, factorul de redimensionare este 5/8. Din ingredientul de 360 grame ai nevoie de 225 grame, din cel de 240 grame de 150 grame, iar din cel de 12 grame de 7,5 grame. Aici se vede clar că forma fracționară a factorului nu complică deloc calculul: 360 × 5 / 8 este tot 225.
Cântărirea practică a ingredientelor indicate per bucată este o chestiune separată. O cantitate teoretică de un ingredient și jumătate poate fi porționată prin cântărire, dacă este divizibilă în masă. Redimensionarea în sine nu determină timpul de coacere și capacitatea echipamentului.
Descompunerea proporției 2:3 dintr-o cantitate totală
Într-un amestec ilustrativ, raportul de masă dintre substanțele A și B este 2:3, iar masa totală dorită este 750 g. Suma părților proporționale este 2 + 3 = 5. O parte este 750 / 5 = 150 g. Ai nevoie de 2 × 150 = 300 g din substanța A și 3 × 150 = 450 g din substanța B.
În amestecul total, proporția lui A este 2/5 = 40%, iar proporția lui B este 3/5 = 60%. Câtul A / B este însă 2/3, aproximativ 66,67%. 40% și 66,67% se referă la baze de referință diferite. Ambele pot fi corecte dacă textul specifică exact la ce se referă.
Dacă ai deja 180 g din A și vrei să le folosești pe toate, o parte proporțională este 90 g. Ai nevoie de 270 g din B, iar amestecul total va fi 450 g. Aceasta este cealaltă direcție a problemei: pornești de la una dintre componente și dimensionezi celelalte în funcție de ea.
Marchează întotdeauna separat raportul de masă și raportul de volum. Diferența apare numeric și într-un exemplu propriu de dozare. Fie densitatea lui A 0,80 g/ml și densitatea lui B 1,20 g/ml la temperatura de dozare. Pentru amestecul de 750 g, cu raport de masă 2:3, s-au obținut anterior 300 g A și 450 g B. Volumele care trebuie cântărite separat sunt:
- A: 300/0,80 = 375 ml.
- B: 450/1,20 = 375 ml.
În acest exemplu, raportul de masă 2:3 corespunde unui raport de volum de dozare 1:1. Dacă cineva măsoară în schimb 300 ml A și 450 ml B, în amestec vor intra 240 g și 540 g. Fracția de masă este 240/780 ≈ 30,77%, în loc de 40% indicat ca țintă.
Densitățile sunt date de material presupuse aici; pentru calcule reale, folosește datele adecvate pentru ingredientul respectiv. 375 ml + 375 ml sunt datele celor două porții cântărite separat. Definiția fracției de volum IUPAC se bazează și ea pe volumele componentelor înainte de amestecare. Dacă problema cere volumul amestecului finit, măsoară-l separat sau calculează-l din densitatea cunoscută a amestecului finit. Totalizarea 300 + 450 = 750 g, bazată pe conservarea masei, rămâne valabilă fără pierderi de material.
Cum obții un amestec de 50% din cel existent de 40%?
În amestecul anterior de 750 g sunt 300 g A și 450 g B. Acum vrei să crești fracția de masă a lui A la 50%, adăugând doar A pur. Astfel, țintele peste 40% dar sub 100% sunt accesibile. Cu această operație nu se poate reduce proporția; la exact 100% nu ajungem prin adăugare finită, deoarece 450 g B rămân în amestec. x grame adăugate cresc atât numărătorul, cât și masa totală:
(300 + x) / (750 + x) = 1/2.
Înmulțind cu doi, 600 + 2x = 750 + x, deci x = 150 g. La final vor fi 450 g A și 450 g B, în total 900 g. Verificarea proporției este 450 / 900 = 1/2.
Este ușor să pornești greșit, gândind că jumătate din 750 g este 375 g, deci lipsesc doar 375 − 300 = 75 g A. Însă, după adăugare, masa totală ar fi 825 g. Atunci proporția lui A ar fi 375 / 825 = 5/11, aproximativ 45,45%, deci ținta nu este atinsă.
Problema este diferită dacă masa totală trebuie să rămână 750 g. Să presupunem că iei x grame din materialul omogenizat și le înlocuiești cu aceeași cantitate de A pur. Partea luată este 40% A, deci masa finală a lui A este 300 − 0,4x + x. Aceasta trebuie să fie 375 g:
300 + 0,6x = 375, deci x = 125 g.
În amestecul luat de 125 g sunt 50 g A și 75 g B. După înlocuire, rămân 300 − 50 + 125 = 375 g din A și 450 − 75 = 375 g din B. Masa totală rămâne neschimbată la 750 g.
Cele două rezultate aparțin unor operații distincte: adăugare de 150 g la masă totală crescătoare, respectiv înlocuire de 125 g la masă totală constantă. Compoziția de 40% a materialului luat este valabilă doar pentru un amestec omogen. Exemplul este un bilanț de masă; nu stabilește miscibilitatea, utilizabilitatea sau compoziția sigură a unei perechi specifice de ingrediente.
Adunarea unor fracții diferite
Folosești 1/3 dintr-un stoc pentru prima sarcină și 1/4 din stocul inițial pentru a doua. Numitorul comun este 12, deci 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12. Restul este 1 − 7/12 = 5/12.
Dacă stocul a fost 960 g, prima utilizare este 320 g, a doua 240 g, iar restul 400 g. Ca verificare, 320 + 240 + 400 = 960. Adunarea simplă a numărătorilor și numitorilor, adică rezultatul 2/7, ar fi incorectă în această sarcină.
Obții un alt rezultat dacă pentru a doua sarcină folosești un sfert din stocul rămas. După prima utilizare rămân 640 g. Un sfert din aceasta este 160 g, deci la final rămân 480 g. Singura diferență dintre cele două propoziții, cuvintele „inițial” și „rămas”, modifică rezultatul cu 80 grame.
De ce trebuie să înmulțești cu inversul celei de-a doua fracții la împărțire?
Ai 3/4 litri de lichid, iar o porție este 1/8 litri. Numărul de porții este 3/4 / (1/8) = 3/4 × 8 = 6. Calculul întreabă de câte ori încape o optime în trei sferturi. Descompus în optimi, 3/4 = 6/8, deci rezultatul poate fi verificat direct.
Dacă o porție este 1/5 litri, numărul teoretic de porții este 15/4 = 3,75. Poți umple trei porții complete și rămân 0,15 litri. Pentru patru porții complete ar fi nevoie de 0,8 litri, deci lipsesc 0,05 litri. Numărul porțiilor complete se rotunjește în jos, iar numărul necesar de bucăți de achiziționat se rotunjește adesea în sus. Decizia depinde de semnificația sarcinii.
Verifică unitățile: 3/4 litri sunt 750 mililitri, iar 1/8 litri sunt 125 mililitri. 750 / 125 este tot 6. Convertorul de unități de măsură te ajută să aduci intrările la o unitate comună înainte de a le aduna sau împărți.
Zecimale, rotunjire și rezoluția cântarului
0,75 este exact 3/4, iar 0,2 este exact 1/5. 0,33 este însă 33/100, care diferă de 1/3. Dacă scalezi o cantitate de multe ori, zecimalele trunchiate prematur pot cauza abateri vizibile. Este bine să păstrezi o treime sub formă de fracție până la finalul calculului.
O treime dintr-un stoc de 2700 grame este exact 900 g. Cu factorul 0,33 ar rezulta 891 g, adică ar lipsi 9 g. Acest exemplu este o abatere pur de calcul; incertitudinea proprie a cântarului poate fi prezentă independent de aceasta.
Alege rotunjirea necesară în funcție de instrument și sarcină. Pe un cântar cu afișaj cu trepte de un gram, citirea directă a valorii țintă 7,5 g este limitată. Mai multe zecimale în calculator nu îmbunătățesc în sine capacitatea de măsurare.
Un flux de lucru verificabil
Înainte de fiecare sarcină, scrie o propoziție scurtă: „iau o treime din stocul inițial de 960 g”. Apoi notează fracția, uniformizează unitățile de măsură și efectuează operația. La final, adună părțile utilizate și rămase sau verifică proporția prin înmulțire inversă.
Materialul OpenStax despre proporții egale oferă exemple suplimentare pentru gestionarea proporțiilor egale. Calculul tău va fi ușor reutilizabil dacă notezi și baza de referință alături de rezultat. „300 g, 40% din amestecul total de 750 g” este o notă mult mai clară decât simplu 40%.
Test final de cunoștințe
Bifează un răspuns pentru fiecare întrebare. Fiecare răspuns corect valorează 1 punct; întrebarea incorectă, omisă sau bifată cu mai multe opțiuni valorează 0 puncte. În total se pot obține 0–3 puncte. Citește soluțiile după ce ai răspuns.
1. Cât A este într-un amestec A:B de 750 g, cu raport de masă 2:3?
- A) 300 g.
- B) 500 g.
- C) 450 g.
2. Adaugi doar A pur la același amestec pentru ca proporția lui A să fie 50%. Cât A este necesar?
- A) 75 g.
- B) 150 g.
- C) 125 g.
3. Iei o treime din stocul de 960 g, apoi un sfert din rest. Cât rămâne?
- A) 480 g.
- B) 560 g.
- C) 400 g.
Soluții și punctaj
1. A. Sunt cinci părți proporționale în total; A primește două: 750 × 2/5 = 300 g. A/B și A/(A+B) sunt câturi distincte. Pentru recapitulare: Descompunerea proporției 2:3 dintr-o cantitate totală.
2. B. Conform (300 + x)/(750 + x) = 1/2, x = 150 g. Materialul adăugat crește și masa totală. Pentru recapitulare: Cum obții un amestec de 40% din cel existent de 50%?.
3. A. După prima extragere rămân 640 g; un sfert din aceasta este 160 g. Cantitatea finală este 480 g. A doua fracție se referă aici la rest. Pentru recapitulare: Adunarea unor fracții diferite.
Fiecare răspuns corect valorează 1 punct; răspunsul incorect sau omis valorează 0 puncte. Punctajul total poate fi 0–3.
- 0 puncte: parcurge din nou secțiunile indicate în cele trei soluții și notează condițiile inițiale ale exemplelor.
- 1 punct: la cele două întrebări greșite, derivă răspunsul corect; notează separat care condiție sau pas de calcul a fost omis.
- 2 puncte: revino la secțiunea asociată întrebării greșite unice, apoi verifică din nou rezultatul modificând o intrare.
- 3 puncte: ai aplicat corect cele trei relații din această serie de sarcini. Încearcă una dintre verificările articolului cu date proprii, notând și condițiile și unitățile de măsură.
Tradus și adaptat din articolul în limba maghiară: Articolul original în maghiară.