Esélyek és meglepetések · 3 perc olvasás
Húsz fej egymás után: miért több mint kétmillió dobás az átlagos várakozás?
Húsz egymást követő fej esélye egy előre kijelölt húszdobásos szakaszban 1 az 1 048 576-hoz. Mégis 2 097 150 dobás az első ilyen sorozatig tartó átlagos várakozás egy szabályos érménél. A két állítás jól megfér egymással: az egymásba csúszó vizsgálati ablakok közös dobásokat használnak.
Ebben a cikkben
Előre kijelölt húsz dobás vagy keresés a teljes sorban?
A cikkben minden dobás független, a fej és az írás esélye egyaránt 1/2. Egy előre kijelölt húszdobásos szakaszban a húsz fej valószínűsége (1/2)²⁰ = 1/1 048 576. Ugyanekkora esélye van bármely más előre megadott húszjelű mintának is. A szabályos váltakozás és a húsz fej egy-egy konkrét sorozat a lehetséges 2²⁰ közül.
Más kérdés, hány dobást kell megfigyelni az első húszas fejsorozat végéig. Itt a második dobással új jelölt szakasz kezdődik, aztán a harmadikkal megint. Az egymás melletti húszas ablakok tizenkilenc közös dobást tartalmaznak. Ezeket ezért nem lehet egymástól független, egymillióból-egy esélyű próbákként kezelni.
Három fejig már tizennégy dobás az átlag
Jelölje Eₖ a k egymást követő fej első előfordulásáig szükséges dobások várható számát. Először várunk k−1 fejre, ami átlagosan Eₖ₋₁ dobás. Ezután dobunk még egyet. Fejnél elkészültünk, írásnál megszakad a sorozat, és újra az elejéről indul a várakozás. Ezért Eₖ = Eₖ₋₁ + 1 + Eₖ/2.
Átrendezve Eₖ = 2 × Eₖ₋₁ + 2. Az első fejig E₁ = 2, két fejig E₂ = 6, három fejig E₃ = 14 dobás az átlag. A minta egyszeri esélyének reciproka három fejnél 8 lenne; az első előfordulásig tartó várakozás ettől eltér. A számlálás a sorozat utolsó dobását is tartalmazza.
A hosszú sorozatra ugyanaz az összefüggés működik
Az előző szabályból Eₖ = 2ᵏ⁺¹ − 2 következik. Húsz fejhez ez 2²¹ − 2 = 2 097 150 dobás. Másodpercenként egy dobás elképzelt sebességével, megállás nélkül ez átlagosan körülbelül 24,27 nap. Ez tisztán időátváltás; sem az érme valós dobhatóságáról, sem garantált határidőről nincs benne állítás.
Egymillió dobásban 1 000 000 − 20 + 1 = 999 981 húszas ablak van. A csupa fej ablakok várható száma 999 981 / 1 048 576 ≈ 0,954. Ez darabszám várható értéke, és nem 95,4%-os esély legalább egy találatra. Egy huszonegyes fejsorozat már két ilyen ablakot tartalmaz, tehát a találatok csoportosulhatnak.
A fej–írás–fej hamarabb érkezik, mint a három fej
A háromfejes FFF és a fej–írás–fej FIF minta egy előre kijelölt háromdobásos szakaszban egyaránt 1/8 esélyű. Az első FFF várható ideje 14, az első FIF-é 10 dobás. A Berkeley valószínűségszámítási tananyaga az utóbbit a részben felépült minta állapotainak követésével vezeti le.
FIF keresésekor egy újabb fej a már meglévő fej után ismét használható kezdőállapotot hagy. FFF keresésekor viszont bármely írás lenullázza a folyamatban lévő fejsorozatot. A teljes minták önmagukkal való átfedése és a sikertelen folytatások után megmaradó részletek különböznek. Az első találat időzítését ezek az állapotátmenetek is alakítják.
A hosszú sorozat nem változtatja meg a következő dobást
Ha már húsz fej történt, a következő dobás a modellben továbbra is fele-fele eséllyel fej vagy írás. A korábbi sorozat ritkasága nem hoz létre kiegyenlítési kötelezettséget. Ugyanez igaz akkor is, ha előre elhatározzuk, hogy csak egy hosszú sorozat után figyeljük meg a következő dobást, és az érme valóban független próbákat ad.
A tanulság adatellenőrzésnél is hasznos. Egy előre kijelölt furcsa mintázat és a hosszú adatsorból utólag kiválasztott legfurcsább részlet eltérő kérdés. A sok megvizsgált kezdőpontot és a minták közötti függést is számításba kell venni. A várható darabszám, az első találatig tartó idő és a legalább egy találat esélye három külön eredmény.
A példák és a források
A számpéldák saját, szemléltető feladatok; a megadott feltételezésekből és képletekből újraszámolhatók. Valós vállalkozásra, országos statisztikára vagy jövőbeli eredményre nem vonatkoznak.
Forrásellenőrzés: 2026-11-09. A hivatkozások a fogalmakat és a módszert támasztják alá; a példaszámítások a cikk részei.
Négy kérdés a cikkhez
A válaszokból kiderül, melyik összefüggést érted már, és melyik részt érdemes újraolvasnod. A válaszokat és a pontszámot nem mentjük.
