Esélyek és meglepetések · 3 perc olvasás
Egy ritka matrica felboríthatja az egész album számítását
Két embernek ugyanabból a százfajtás albumból egyetlen lap hiányzik. Egyikük átlagos várakozása közel száz húzás, a másiké ezer. A különbséget az okozza, hogy másik típust keresnek. Eltérő gyakoriságú matricáknál a hiányzó darabok számából már nem számítható ki önmagában a hátralévő munka.
Ebben a cikkben
A modellben egy típus esélye 0,1%
Saját albumunk száz típust tartalmaz. Egy ritka típus minden húzásban 0,001, azaz 0,1% eséllyel érkezik. A maradék 0,999 valószínűség egyenlően oszlik a másik 99 típus között, így egy gyakori típus esélye 0,999/99 ≈ 0,0100909, azaz 1,00909%. Minden húzás egy darabot ad, a húzások függetlenek, nincs csere.
Ez kitalált eloszlás, valódi gyártó gyakoriságát nem állítjuk. A ritka darab körülbelül tizedakkora eséllyel jön, mint egy-egy gyakori. Az egyforma típusgyakoriságra felírt szokásos albumképlet ide változtatás nélkül nem alkalmazható. Előbb meg kell mondani, melyik típusok hiányoznak.
Egy hiányzó lap jelenthet száz vagy ezer húzást
Ha csak a ritka lap hiányzik, az első találatig várható húzásszám 1/0,001 = 1000. Ha egy konkrét gyakori típus hiányzik, ugyanez 1/(0,999/99) ≈ 99,10. Mindkét album 99%-ban kész, a hátralévő várható munkájuk mégis több mint tízszeresen eltér. A geometriai várakozási képlet és a független próbák feltétele az MIT valószínűségszámítási jegyzetében is szerepel.
Üres albumból indulva a teljes gyűjtemény elkészülése legalább addig tart, amíg a ritka darab először megérkezik. Ezért a teljes befejezés várható ideje legalább ezer húzás. Az ezer itt alsó korlát a teljes albumra, nem annak pontos várható értéke. A ritka lap korai érkezése után gyakori darabok is hiányozhatnak még.
Ezer húzás után a ritka lap még 36,77% eséllyel hiányzik
A ritka típus egy húzásnál 0,999 eséllyel marad el. Ezer független húzásban a teljes kimaradás esélye 0,999¹⁰⁰⁰ ≈ 0,367695. Megszerzésének esélye tehát körülbelül 63,23%. A teljes album ezer húzás utáni elkészülésének esélye legfeljebb ennyi lehet, hiszen a ritka darab nélkül biztosan hiányos.
A gyakori típusok már más helyzetben vannak. Egy adott gyakori darab kimaradásának esélye [1 − (0,999/99)]¹⁰⁰⁰. Mind a 99 gyakori típus ilyen kimaradási esélyét összeadva körülbelül 0,00389895, azaz 0,389895% adódik. Ez felső korlát arra, hogy legalább egy gyakori darab még hiányzik. Az összegben átfedő hiányok is lehetnek, ezért egyenlőségként nem használjuk.
A befejezés esélyét szűk sávba tudjuk zárni
A teljes album akkor hiányos, ha a ritka típus kimaradt, vagy legalább egy gyakori hiányzik. Ezek valószínűségének összege felső korlát a hiányosságra. A befejezés esélye így legalább 1 − 0,36769542 − 0,00389895 ≈ 0,62840562, vagyis 62,84%. Az előző felső határral együtt 62,84% és 63,23% közé szorítottuk a teljes album elkészültének esélyét ezer húzásnál.
A sávhoz nem kellett az összes hiányzó típus kombinációját felsorolni. Az események uniójára használt felső korlátot az MIT jegyzete külön levezeti. A saját példánkban a ritka típus határozza meg a felső korlátot, a gyakori típusok maradék kockázata pedig megadja, legfeljebb mennyivel lehet kisebb a teljes befejezés esélye.
A 95%-os küszöb is ellenőrizhető a két korláttal
2994 húzásnál már a ritka lap megszerzésének esélye is csak körülbelül 94,9988%. A teljes album ezért ekkor még nem érheti el a 95%-os elkészülési esélyt. 2995 húzásnál a ritka darab esélye körülbelül 95,00383%, a gyakori darabok közös hiányának felső korlátja pedig 0,000000000637% alatt marad. A befejezés alsó korlátja így is meghaladja a 95%-ot.
A modellben tehát a teljes album legalább 95%-os befejezési esélyéhez 2995 húzás az első elegendő egész szám. Ez valószínűségi küszöb, biztos befejezés nélkül. A konkrét albumhoz csak igazolt típusgyakoriságokkal szabad átvinni a gondolatmenetet. A legfontosabb kérdés az, hogy a hiányzó lapok azonos eséllyel érkeznek-e; ennek elhagyása jelentősen átírhatja a tervet.
A példák és a források
A számpéldák saját, szemléltető feladatok; a megadott feltételezésekből és képletekből újraszámolhatók. Valós vállalkozásra, országos statisztikára vagy jövőbeli eredményre nem vonatkoznak.
Forrásellenőrzés: 2026-11-09. A hivatkozások a fogalmakat és a módszert támasztják alá; a példaszámítások a cikk részei.
Négy kérdés a cikkhez
A válaszokból kiderül, melyik összefüggést érted már, és melyik részt érdemes újraolvasnod. A válaszokat és a pontszámot nem mentjük.
