Esélyek és meglepetések · 3 perc olvasás
Százmilliós főnyereményből hogyan lesz 120 forint várható kifizetés?
A legnagyobb nyereményből a legkisebb valószínűség is részesedést kér a számításban. Egy százmilliós díj egymillióból egy esélynél száz forinttal járul hozzá az egy próbára jutó várható kifizetéshez. A következő oktatómodell azt mutatja meg, milyen számot rejt el a nagy összeg önmagában.
Ebben a cikkben
Egymillió azonos esélyű kimenetet írunk fel
A feladat teljes egészében kitalált matematikai modell. Egymillió lehetséges kimenet közül pontosan egyet választunk, mindegyiket azonos eséllyel. Egy kimenet 100 millió forintot fizet, további ezer kimenet fejenként 10 ezer forintot, újabb tízezer kimenet fejenként ezer forintot. A csoportok nem fedik egymást; minden maradék kimenet kifizetése nulla.
Egy próbához 200 forintos költséget rendelünk. A kifizetéseket a modellben teljes egészében megkapjuk, további levonás és megosztás nélkül. A számokhoz nem tartozik valódi játék, aktuális ajánlat vagy részvételi javaslat. Az a cél, hogy minden bemenet ismert legyen, és az eredmény kézzel is ellenőrizhető maradjon.
Minden díjat a saját esélyével kell szorozni
A várható kifizetés a lehetséges kifizetések valószínűséggel súlyozott átlaga. A főnyeremény hozzájárulása 100 000 000 × 1/1 000 000 = 100 Ft. A 10 ezres díjaké 10 000 × 1000/1 000 000 = 10 Ft. Az ezres díjaké 1000 × 10 000/1 000 000 = 10 Ft. Az összeg tehát 120 Ft.
Ugyanez az összes kifizetési érték felől is kijön. Egymillió kimeneten a díjak összege 100 millió + 10 millió + 10 millió = 120 millió forint. Elosztva egymillióval ismét 120 forintot kapunk. A Berkeley várható értékről szóló tananyaga ugyanezt a valószínűségi súlyozást használja. A példában a súlyozást teljes egészében a saját díjlistánkon végeztük el.
A kifizetésből még le kell vonni a költséget
A várható nettó eredmény 120 − 200 = −80 Ft próbánként. A várható kifizetési arány 120/200 = 60%, a költség 40%-ának megfelelő összeg pedig várható veszteségként jelenik meg. A 120 forintot nyereségként megnevezni hibás lenne, hiszen az induló 200 forintot már kifizettük.
Ha ugyanennek a modellnek száz külön próbáját vizsgáljuk, a teljes várható kifizetés 100 × 120 = 12 000 Ft, a költség 20 000 Ft, a nettó várható eredmény −8000 Ft. A további próbák ezt az előjelet nem javítják meg. A várható értékek összeadhatósága miatt a költség és a kifizetés közötti rés is halmozódik.
A 120 forintot egyetlen kimenet sem fizeti ki
A modell tényleges kifizetése 0, 1000, 10 000 vagy 100 000 000 forint lehet. A 120 forint kizárólag súlyozott átlag. A pozitív kifizetések száma 1 + 1000 + 10 000 = 11 001, így bármilyen pozitív kifizetés esélye 1,1001%. A nulla kifizetésé 98,8999%. Ebben a különleges díjlistában minden pozitív díj a 200 forintos költséget is meghaladja.
A legtöbb egyedi eredmény tehát nulla kifizetés és 200 forint veszteség, miközben a ritka nagy díj jelentősen emeli az átlagot. Egy biztos 120 forintos kifizetésnek ugyanaz lenne a várható értéke, mint ennek a díjlistának, de teljesen más lenne a bizonytalansága. A döntéshez ezért az átlag mellett az eredmények eloszlását is ismerni kell.
A főnyeremény és az esély együtt mond valamit
A díjlista legnagyobb száma önmagában nem elég. Szükség van minden kifizetésre, annak esélyére, a teljes költségre és az esetleges megosztási szabályra. Ha ugyanarra a díjra több nyertes is jogosult, az egy nyertesre jutó tényleges kifizetés változhat. Hiányzó szabályokat nem lehet egy nagy, kiemelt összeggel helyettesíteni.
A várható érték sok üzleti helyzetben is használható: bizonytalan bevétel, ritka javítási költség vagy garanciális kiadás becslésénél. Ott is külön kell tartani a bruttó befolyó összeget, a költséget és az ingadozást. A matematikai átlag leír egy eloszlást; egy adott embernek vagy vállalkozásnak elviselhető kockázatot önmagában nem állapít meg.
A példák és a források
A számpéldák saját, szemléltető feladatok; a megadott feltételezésekből és képletekből újraszámolhatók. Valós vállalkozásra, országos statisztikára vagy jövőbeli eredményre nem vonatkoznak.
Forrásellenőrzés: 2026-11-09. A hivatkozások a fogalmakat és a módszert támasztják alá; a példaszámítások a cikk részei.
Négy kérdés a cikkhez
A válaszokból kiderül, melyik összefüggést érted már, és melyik részt érdemes újraolvasnod. A válaszokat és a pontszámot nem mentjük.
