Dacă înmulțești fiecare dimensiune liniară a unui corp cu 1,5, suprafața rezultată este de 2,25 ori suprafața inițială, iar volumul este de 3,375 ori volumul inițial. Condiția este ca proporțiile formei să rămână neschimbate: lungimea, lățimea și înălțimea să se modifice cu același număr. Alungirea unei singure laturi este o problemă diferită.
Această diferență este util de calculat în avans și la redimensionarea machetelor, corpurilor de ambalare, proiectelor de obiecte sau desenelor tehnice. „Dimensiunea de 150%” înseamnă de obicei o dimensiune liniară de 1,5 ori. Volumul se calculează separat din aceasta.
De ce pătrat și cub?
Fie k factorul comun al dimensiunilor liniare. Aria unui dreptunghi este a × b. După mărire, (k × a) × (k × b) = k² × a × b. În volumul unui paralelipiped dreptunghic, k apare în trei factori, deci factorul este k³. Pentru figuri similare, această relație este utilizabilă în general.
Materialele didactice de la Oak National Academy despre mărirea ariei și mărirea volumului discută relația corectă pătratică și cubică. Următoarele dimensiuni sunt exemple ilustrative proprii.
Fie dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic plin 8 × 6 × 4 cm. Volumul său este 8 × 6 × 4 = 192 cm³. După o mărire de 1,5 ori, obții 12 × 9 × 6 cm, astfel încât noul volum este 12 × 9 × 6 = 648 cm³. Raportul este 648 / 192 = 3,375.
Suprafața corpului original este 2 × (8 × 6 + 8 × 4 + 6 × 4) = 208 cm². La corpul mărit, este 2 × (12 × 9 + 12 × 6 + 9 × 6) = 468 cm². Aceasta este o suprafață de 468 / 208 = 2,25 ori mai mare.
| Cantitate | Factor | Creștere |
|---|---|---|
| Dimensiune liniară | 1,5 | 50% |
| Suprafață | 2,25 | 125% |
| Volum | 3,375 | 237,5% |
„Crește la 337,5%” și „crește cu 237,5%” descriu același volum final. Primul compară noua valoare cu cea originală, al doilea se referă doar la partea adăugată.
Direcția schimbării scării în desen
Pe un desen cu scara 1:50, 4 cm reprezintă o lungime reală de 200 cm. Dacă dorești să reprezini același obiect la scara 1:40, lungimea pe desen va fi 200 / 40 = 5 cm. Mărirea necesară este 5 / 4 = 1,25, adică 125%.
Poți calcula direct din numitorii celor două scări: 50 / 40 = 1,25. Aria corespunzătoare pe noul desen este 1,25² = 1,5625 ori mai mare. Dimensiunile obiectului real rămân neschimbate; doar reprezentarea a devenit mai mare.
Folosește convertorul de unități de măsură pentru a uniformiza centimetrii, metrii, unitățile pătrate și cubice. Poți verifica puterile și formula suprafeței cu mai mulți termeni în calculatorul grafic (în maghiară). Pentru determinarea raportului de scară, trebuie să decizi tu care dimensiuni liniare corespund una alteia.
De la volum înapoi la dimensiunea liniară
Dacă scopul este doar un volum cu 20% mai mare, factorul de volum este 1,20. Factorul de lungime este rădăcina cubică a acestuia: k = 1,20^(1/3) ≈ 1,06266. Aceasta înseamnă o creștere a dimensiunii liniare de aproximativ 6,27% în toate direcțiile. O creștere a lungimii de 20% ar duce la un volum mult mai mare.
La obiectele goale, calculează separat materialul pereților. Ca ilustrare, fie paralelipipedul de 8 × 6 × 4 cm închis, gol în interior, cu grosimea peretelui de 0,2 cm pe toate cele șase laturi. Fără rotunjirea muchiilor și fără armături interne, dimensiunea interioară este 7,6 × 5,6 × 3,6 cm. Volumul materialului este 192 − 153,216 = 38,784 cm³.
Mărind dimensiunile exterioare de 1,5 ori, dar menținând grosimea peretelui la 0,2 cm, dimensiunea interioară devine 11,6 × 8,6 × 5,6 cm. Volumul materialului este 648 − 558,656 = 89,344 cm³, ceea ce este aproximativ 2,3036 ori volumul inițial al materialului. Aici, factorul de 3,375 ori al volumului exterior ar supraestima materialul. Suprafețele interioare și exterioare nu au mai rămas geometric similare împreună, deoarece peretele nu a fost mărit.
Pentru capacitate, contează volumul interior. Pentru necesarul de material, folosești diferența dintre volumul exterior și cel interior, iar dimensiunile exterioare determină dacă obiectul încape în spațiul său. Acestea sunt întrebări separate, de aceea nu transfera automat rata de creștere a volumului exterior la celelalte două.
Aceasta este geometria exactă a cojii specificate. În cazul unui capac deschis, al armăturilor, al rotunjirii muchiilor sau al umplerii parțiale, trebuie să adaugi sau să scazi separat volumul afectat. Din volumul materialului obținut, fără date suplimentare, nu rezultă timpul de imprimare, rezistența sau costul de producție.
Înainte de a modifica dimensiunile, descrie dacă cauți un răspuns pentru lungime, suprafață, capacitate sau cantitate de material. Astfel poți decide care raport este utilizabil și pentru care este nevoie de date geometrice suplimentare.
Câtă mărire încape în spațiul disponibil?
Pentru corpul original de 8 × 6 × 4 cm, acum este disponibil un spațiu liber de maximum 11,8 × 9,4 × 6,1 cm. Poziția corpului este fixă: latura de 8 cm este orientată în direcția de 11,8 cm, și așa mai departe. Dimensiunile reprezintă deja spațiul interior disponibil.
Un factor comun k trebuie să îndeplinească toate cele trei condiții:
- 8k ≤ 11,8, deci k ≤ 1,475;
- 6k ≤ 9,4, deci k ≤ 1,5666…;
- 4k ≤ 6,1, deci k ≤ 1,525.
Limita superioară cea mai mică decide: k = 1,475, adică dimensiunile liniare pot fi mărite la 147,5% din original. Corpul obținut este 11,8 × 8,85 × 5,9 cm. În a doua și a treia direcție rămâne loc; prima direcție limitează mărirea comună.
Volumul său este 11,8 × 8,85 × 5,9 = 616,137 cm³, iar suprafața este 208 × 1,475² = 452,53 cm². Volumul este de 3,209046875 ori volumul original de 192 cm³. Această limită trebuia determinată din dimensiunile liniare, deoarece într-un spațiu suficient din punct de vedere al volumului, o latură a corpului ar putea încă să iasă în afara lui.
Dacă setarea acceptă doar procente întregi, la 147% rezultă 11,76 × 8,82 × 5,88 cm. Prima dimensiune la 148% este deja 11,84 cm, deci depășește limita de 11,8 cm. Aici, rotunjirea obișnuită a măririi la cel mai apropiat întreg ar duce la o decizie greșită.
Aceasta este rezultatul geometric al orientării fixe și al dimensiunilor interioare exacte specificate. Dacă poți roti corpul sau trebuie să lași un spațiu de potrivire pentru dimensiuni, calculează cu condiții noi. Spațiul de potrivire necesar se scade din dimensiunile interioare specificate înainte de mărire. Dacă pornești de la dimensiuni exterioare, determină mai întâi spațiul interior pe baza grosimilor pereților; nu scădea din nou din dimensiunea deja interioară.
Test final de cunoștințe
Bifează un singur răspuns pentru fiecare întrebare. Fiecare răspuns corect valorează 1 punct; întrebarea greșită, omisă sau marcată cu mai multe răspunsuri valorează 0 puncte. În total se pot obține 0–3 puncte. Citește soluțiile după ce ai răspuns.
1. Mărești fiecare dimensiune liniară a unui corp plin de 1,5 ori. Cu cât crește volumul?
- A) Cu 237,5%; se schimbă la 337,5% din original.
- B) Cu 50%.
- C) Cu 150%.
2. Mărești dimensiunile exterioare ale unui corp gol de 1,5 ori, lăsând grosimea peretelui neschimbată. Se poate transfera automat factorul 3,375 la volumul materialului?
- A) Nu; trebuie recalculată diferența dintre corpul interior și cel exterior.
- B) Da, deoarece grosimea peretelui nu contează.
- C) Da, toate cantitățile geometrice se schimbă cubic.
3. Corpul de 8 × 6 × 4 cm, în poziție fixă, trebuie să încapă în maximum 11,8 × 9,4 × 6,1 cm. Mărirea se ajustează doar cu procente întregi. Care este cea mai mare setare permisă?
- A) 150%.
- B) 147%.
- C) 148%.
Soluții și punctaj
1. A. Factorul de volum este 1,5³ = 3,375. Creșterea rezultată este 3,375 − 1 = 2,375, adică 237,5%. Pentru recapitulare: De ce pătrat și cub?.
2. A. Grosimea neschimbată a peretelui distruge similaritatea geometrică a întregii coji. În articol, materialul crește de la 38,784 la 89,344 cm³, ceea ce este doar aproximativ 2,3036 ori mai mult. Pentru recapitulare: De la volum înapoi la dimensiunea liniară.
3. B. Dintre cele trei limite, 11,8/8 = 1,475 este cea mai strictă. 147% încape; la 148%, prima latură este 11,84 cm, ceea ce este deja prea mare. Pentru recapitulare: Câtă mărire încape în spațiul disponibil?.
Fiecare răspuns corect valorează 1 punct; răspunsul greșit sau omis valorează 0 puncte. Punctajul total poate fi între 0 și 3.
- 0 puncte: parcurge din nou secțiunile indicate în cele trei soluții și notează condițiile inițiale ale exemplelor.
- 1 punct: la cele două întrebări greșite, derivă răspunsul corect; notează separat care condiție sau pas de calcul a lipsit.
- 2 puncte: revino la secțiunea legată de singura întrebare greșită, apoi verifică din nou rezultatul modificând o intrare.
- 3 puncte: ai aplicat corect cele trei relații în această serie de exerciții. Încearcă una dintre verificările articolului cu datele tale, notând și condițiile și unitățile de măsură.
Tradus și adaptat din articolul în limba maghiară: Articolul original în maghiară.