Wenn du jede Längendimension eines Körpers auf das Eineinhalbfache vergrößerst, wird seine Oberfläche 2,25-mal so groß und sein Volumen 3,375-mal so groß. Die Voraussetzung ist, dass die Proportionen der Form erhalten bleiben: Länge, Breite und Höhe müssen sich mit derselben Zahl ändern. Die Dehnung nur einer Seite ist eine andere Aufgabe.
Diesen Unterschied ist es sinnvoll, bereits im Voraus durchzurechnen, wenn man Modelle, Verpackungskörper, Objektdesigns oder technische Zeichnungen skaliert. Eine „150%-ige Größe“ bedeutet in der Regel eine 1,5-fache Längendimension. Das Volumen muss daraus separat berechnet werden.
Warum Quadrat und Kubik?
Sei k der gemeinsame Faktor der Längendimensionen. Die Fläche eines Rechtecks ist a × b. Nach der Vergrößerung ergibt sich (k × a) × (k × b) = k² × a × b. Im Volumen eines Quaders tritt k in drei Faktoren auf, daher ist der Faktor k³. Bei ähnlichen Formen ist dieser Zusammenhang allgemein anwendbar.
Die Lehrmaterialien der Oak National Academy über Flächenvergrößerung und über Volumensteigerung behandeln die entsprechenden quadratischen und kubischen Zusammenhänge. Die folgenden Maße sind eigene illustrative Beispiele.
Die Maße eines massiven Quaders seien 8 × 6 × 4 cm. Sein Volumen ist 8 × 6 × 4 = 192 cm³. Nach einer Vergrößerung auf das Eineinhalbfache erhältst du 12 × 9 × 6 cm, sodass das neue Volumen 12 × 9 × 6 = 648 cm³ beträgt. Das Verhältnis ist 648 / 192 = 3,375.
Die Oberfläche des ursprünglichen Körpers ist 2 × (8 × 6 + 8 × 4 + 6 × 4) = 208 cm². Beim vergrößerten Körper ist sie 2 × (12 × 9 + 12 × 6 + 9 × 6) = 468 cm². Dies entspricht einer 468 / 208 = 2,25-fachen Oberfläche.
| Größe | Faktor | Zunahme |
|---|---|---|
| Längendimension | 1,5 | 50% |
| Oberfläche | 2,25 | 125% |
| Volumen | 3,375 | 237,5% |
Die Aussage „wächst auf 337,5%“ und „wächst um 237,5%“ beschreiben dasselbe Endergebnis für das Volumen. Der erste vergleicht den neuen Wert mit dem ursprünglichen, der zweite bezieht sich nur auf den hinzukommenden Anteil.
Die Richtung der Maßstabsänderung in der Zeichnung
Auf einer Zeichnung im Maßstab 1:50 bedeutet 4 cm eine reale Länge von 200 cm. Wenn du dasselbe Objekt im Maßstab 1:40 darstellen möchtest, wird die Länge in der Zeichnung 200 / 40 = 5 cm sein. Die erforderliche Vergrößerung ist 5 / 4 = 1,25, also 125%.
Du kannst auch direkt aus den Nennern der beiden Maßstäbe rechnen: 50 / 40 = 1,25. Auf der neuen Zeichnung ist die entsprechende Fläche 1,25² = 1,5625-mal so groß. Die tatsächlichen Maße des Objekts bleiben davon unberührt; nur die Darstellung wurde größer.
Einheitliche Einheiten für Zentimeter, Meter, Quadrat- und Kubikeinheiten erhältst du mit dem Einheitenumrechner. Potenzen und die mehrteilige Oberflächenformel kannst du auch im grafischen Rechner (auf Ungarisch) überprüfen. Zur Bestimmung des Maßstabs musst du selbst entscheiden, welche Längendimensionen einander entsprechen.
Vom Volumen zurück zur Längendimension
Wenn das Ziel lediglich ein um 20% größeres Volumen ist, beträgt der Volumenfaktor 1,20. Der Faktor für die Länge ist dessen Kubikwurzel: k = 1,20^(1/3) ≈ 1,06266. Dies bedeutet eine Längenzunahme von etwa 6,27% in jeder Richtung. Eine Längenzunahme von 20% würde ein deutlich größeres Volumen ergeben.
Bei hohlen Objekten musst du das Material der Wand separat berechnen. Als Illustration sei der 8 × 6 × 4 cm große Quader geschlossen, innen hohl, mit einer Wandstärke von 0,2 cm auf allen sechs Seiten. Ohne Kantenabrundung und innere Verstrebung betragen die Innenmaße 7,6 × 5,6 × 3,6 cm. Das Materialvolumen ist 192 − 153,216 = 38,784 cm³.
Wenn du die Außenmaße auf das Eineinhalbfache vergrößerst, aber die Wandstärke bei 0,2 cm belässt, betragen die Innenmaße 11,6 × 8,6 × 5,6 cm. Das Materialvolumen ist 648 − 558,656 = 89,344 cm³, was etwa dem 2,3036-Fachen des ursprünglichen Wertes entspricht. Der 3,375-fache Faktor des Außenvolumens würde hier das Material überschätzen. Die innere und äußere Oberfläche blieben zusammen nicht geometrisch ähnlich, da die Wand nicht vergrößert wurde.
Zur Aufnahmekapazität gehört das Innenvolumen. Für den Materialbedarf verwendest du die Differenz zwischen Außen- und Innenvolumen, und die äußeren Hüllmaße entscheiden darüber, ob das Objekt an seinen Platz passt. Dies sind separate Fragen, daher darfst du das Wachstumsverhältnis des Außenvolumens nicht automatisch auf die anderen beiden übertragen.
Dies ist die genau angegebene Geometrie der Hülle. Bei offenem Deckel, Verstrebungen, Kantenabrundungen oder teilweiser Füllung musst du das betroffene Volumen separat addieren oder subtrahieren. Aus dem resultierenden Materialvolumen lassen sich ohne weitere Daten keine Rückschlüsse auf Druckzeit, Tragfähigkeit oder Produktionskosten ziehen.
Beschreibe vor der Größenänderung, ob du eine Antwort für Länge, Oberfläche, Aufnahmekapazität oder Materialmenge suchst. Damit lässt sich entscheiden, welches Verhältnis anwendbar ist und für welches weitere geometrische Daten erforderlich sind.
Welche Vergrößerung passt in den verfügbaren Platz?
Zum ursprünglichen 8 × 6 × 4 cm großen Körper steht nun maximal 11,8 × 9,4 × 6,1 cm freier Platz zur Verfügung. Die Lage des Körpers ist fixiert: Die 8 cm lange Seite wird in die 11,8 cm Richtung gelegt, und so weiter. Die Maße bedeuten bereits den verfügbaren Innenraum.
Ein gemeinsamer Faktor k muss alle drei Bedingungen erfüllen:
- 8k ≤ 11,8, daher k ≤ 1,475;
- 6k ≤ 9,4, daher k ≤ 1,5666…;
- 4k ≤ 6,1, daher k ≤ 1,525.
Die kleinste Obergrenze entscheidet: k = 1,475, das heißt, die Längendimensionen können auf 147,5% des Originals vergrößert werden. Der resultierende Körper ist 11,8 × 8,85 × 5,9 cm. In der zweiten und dritten Richtung bleibt Platz; die erste Richtung begrenzt die gemeinsame Vergrößerung.
Sein Volumen ist 11,8 × 8,85 × 5,9 = 616,137 cm³, seine Oberfläche ist 208 × 1,475² = 452,53 cm². Das Volumen ist das 3,209046875-Fache der ursprünglichen 192 cm³. Diese Grenze musste aus den Längendimensionen bestimmt werden, denn in einem volumetechnisch ausreichenden Platz könnte eine Seite des Körpers noch herausragen.
Wenn die Einstellung nur ganze Prozentwerte akzeptiert, ergibt sich bei 147% ein Maß von 11,76 × 8,82 × 5,88 cm. Die erste Dimension bei 148% ist bereits 11,84 cm, überschreitet also die Grenze von 11,8 cm. Hier würde das übliche Runden der Vergrößerung auf die nächste ganze Zahl zu einer falschen Entscheidung führen.
Dies ist das geometrische Ergebnis der fixierten Ausrichtung und der angegebenen, genauen Innenmaße. Wenn du den Körper drehen kannst oder Passungsspielraum zu den Maßen lassen musst, rechne mit neuen Bedingungen. Ziehe den erforderlichen Passungsspielraum von den angegebenen Innenmaßen vor der Vergrößerung ab. Wenn du von Außenmaßen ausgehst, bestimme zuerst den Innenraum basierend auf den Wandstärken; ziehe dies nicht erneut von bereits vorhandenen Innenmaßen ab.
Abschließender Wissenstest
Markiere pro Frage eine Antwort. Jede richtige Antwort bringt 1 Punkt; eine falsche, ausgelassene oder mit mehreren Antworten markierte Frage bringt 0 Punkte. Insgesamt sind 0–3 Punkte erreichbar. Lies die Lösungen nach der Beantwortung.
1. Du vergrößerst jede Längendimension eines massiven Körpers auf das 1,5-Fache. Wie groß ist das neue Volumen im Verhältnis zum ursprünglichen Volumen?
- A) Um 237,5%; es ändert sich auf 337,5% des Originals.
- B) Um 50%.
- C) Um 150%.
2. Du vergrößerst die Außenmaße eines hohlen Körpers auf das 1,5-Fache und lässt die Wandstärke unverändert. Kann der 3,375-fache Faktor automatisch auf das Materialvolumen übertragen werden?
- A) Nein; die Differenz zwischen innerem und äußerem Körper muss neu berechnet werden.
- B) Ja, weil die Wandstärke keine Rolle spielt.
- C) Ja, jede geometrische Größe ändert sich kubisch.
3. Der 8 × 6 × 4 cm große Körper muss in fixierter Lage maximal in 11,8 × 9,4 × 6,1 cm passen. Die Vergrößerung ist nur in ganzen Prozenten einstellbar. Was ist die maximal zulässige Einstellung?
- A) 150%.
- B) 147%.
- C) 148%.
Lösungen und Bewertung
1. A. Der Volumenfaktor ist 1,5³ = 3,375. Die Zunahme daraus ist 3,375 − 1 = 2,375, also 237,5%. Zur Wiederholung: Warum Quadrat und Kubik?.
2. A. Die unveränderte Wandstärke hebt die vollständige geometrische Ähnlichkeit der Hülle auf. Im Artikel wächst das Material von 38,784 auf 89,344 cm³, was nur etwa dem 2,3036-Fachen entspricht. Zur Wiederholung: Vom Volumen zurück zur Längendimension.
3. B. Von den drei Grenzen ist 11,8/8 = 1,475 die strengste. 147% passt hinein; bei 148% ist die erste Seite 11,84 cm, was bereits zu groß ist. Zur Wiederholung: Welche Vergrößerung passt in den verfügbaren Platz?.
Jede richtige Antwort bringt 1 Punkt; eine falsche oder ausgelassene Antwort bringt 0 Punkte. Die Gesamtpunktzahl kann 0–3 betragen.
- 0 Punkte: Arbeite die in den drei Lösungen markierten Abschnitte erneut durch und notiere die Ausgangsbedingungen der Beispiele.
- 1 Punkt: Leite bei den zwei falsch beantworteten Fragen die richtige Antwort her; notiere separat, welche Bedingung oder welcher Rechenschritt fehlte.
- 2 Punkte: Kehre zum Abschnitt zurück, der mit der einzigen falsch beantworteten Frage verbunden ist, und überprüfe das Ergebnis erneut, indem du eine Eingabe änderst.
- 3 Punkte: Du hast die drei Zusammenhänge in dieser Aufgabenstellung korrekt angewendet. Teste eine Überprüfung aus dem Artikel mit eigenen Daten und notiere dabei die Bedingungen und Einheiten.
Aus dem ungarischen Artikel übersetzt und angepasst: Ungarischer Originalartikel.