Ak zväčšíš všetky rozmery telesa 1,5-násobne, jeho povrch bude 2,25-násobný a objem 3,375-násobný. Podmienkou je, aby pomer strán zostal zachovaný: dĺžka, šírka a výška sa musia meniť rovnakým číslom. Predĺženie jednej strany je iná úloha.
Tento rozdiel je užitočné vopred vypočítať pri zmenšovaní makiet, obalových telies, návrhov predmetov alebo technických výkresov. „Veľkosť 150 %“ zvyčajne znamená 1,5-násobnú dĺžku. Objem sa z toho počíta osobitne.
Prečo štvorec a kocka?
Nech k je spoločný násobok rozmerov. Obsah obdĺžnika je a × b. Po zväčšení (k × a) × (k × b) = k² × a × b. V objeme kvádra sa k vyskytuje v troch činiteľoch, takže násobok je k³. Pri podobných útvaroch je tento vzťah všeobecne použiteľný.
Učebné materiály Oak National Academy o zväčšení obsahu a o zväčšení objemu preberajú príslušný štvorcový a kubický vzťah. Nasledujúce rozmery sú vlastné ilustratívne príklady.
Rozmery plného kvádra nech sú 8 × 6 × 4 cm. Jeho objem je 8 × 6 × 4 = 192 cm³. Po 1,5-násobnom zväčšení dostaneš 12 × 9 × 6 cm, takže nový objem je 12 × 9 × 6 = 648 cm³. Pomer je 648 / 192 = 3,375.
Povrch pôvodného telesa je 2 × (8 × 6 + 8 × 4 + 6 × 4) = 208 cm². U zväčšeného telesa je to 2 × (12 × 9 + 12 × 6 + 9 × 6) = 468 cm². To je 468 / 208 = 2,25-násobný povrch.
| Veľkosť | Násobok | Nárast |
|---|---|---|
| Rozmer dĺžky | 1,5 | 50% |
| Povrch | 2,25 | 125% |
| Objem | 3,375 | 237,5% |
Vyjadrenie „nárast na 337,5 %“ a „nárast o 237,5 %“ opisuje rovnaký konečný objem. Prvé porovnáva novú hodnotu s pôvodnou, druhé len pridanú časť.
Smer zmeny mierky výkresu
Na výkrese v mierke 1:50 znamená 4 cm skutočnú dĺžku 200 cm. Ak chceš ten istý objekt znázorniť v mierke 1:40, dĺžka na výkrese bude 200 / 40 = 5 cm. Potrebné zväčšenie je 5 / 4 = 1,25, teda 125 %.
Počítať môžeš priamo z menovateľov dvoch mierok: 50 / 40 = 1,25. Na novom výkrese bude príslušná plocha 1,25² = 1,5625-násobkom pôvodnej plochy. Skutočné rozmery predmetu sa tým nemenia; väčšie je len znázornenie.
Pomocou prevodníka jednotiek zjednoť centimetre, metre, štvorcové a kubické jednotky. Mocniny a viacčlenný vzorec na povrch si môžeš overiť aj v grafickej kalkulačke (v maďarčine). Pri určovaní mierky musíš sám rozhodnúť, ktoré rozmery zodpovedajú jeden druhému.
Späť z objemu na rozmery
Ak je cieľom len 20 % väčší objem, násobok objemu je 1,20. Násobok dĺžky je jeho treťou odmocninou: k = 1,20^(1/3) ≈ 1,06266. To znamená približne 6,27 % nárast rozmeru vo všetkých smeroch. 20 % nárast dĺžky by viedol k oveľa väčšiemu objemu.
Pri dutom predmete vypočítaj osobitne materiál stien. Ilustratívne nech je kváder s rozmermi 8 × 6 × 4 cm uzavretý, vnútri dutý, so hrúbkou steny 0,2 cm na všetkých šiestich stranách. Bez zaoblenia hrán a vnútorného vystuženia sú vnútorné rozmery 7,6 × 5,6 × 3,6 cm. Objem materiálu je 192 − 153,216 = 38,784 cm³.
Ak zväčšíš vonkajšie rozmery 1,5-násobne, ale hrúbku steny ponecháš na 0,2 cm, vnútorné rozmery budú 11,6 × 8,6 × 5,6 cm. Objem materiálu je 648 − 558,656 = 89,344 cm³, čo je približne 2,3036-násobok pôvodného objemu. Tu by 3,375-násobok vonkajšieho objemu nadhodnotil množstvo materiálu. Vnútorný a vonkajší povrch spolu nezostali geometricky podobné, pretože stenu sme nezväčšovali.
K kapacite patrí vnútorný objem. Na potrebu materiálu používaš rozdiel vonkajšieho a vnútorného objemu, vonkajšie obalové rozmery rozhodujú o tom, či sa predmet zmestí na svoje miesto. Sú to rôzne otázky, preto neprenášaj automaticky pomer nárastu vonkajšieho objemu na ostatné dve.
Toto je presne zadaná geometria plášťa. Pri otvorenom veku, vystužení, zaoblení hrán alebo čiastočnom vyplnení musíš príslušný objem osobitne pripočítať alebo odpočítať. Z vypočítaného objemu materiálu bez ďalších údajov nevyplýva čas tlače, nosnosť ani výrobná cena.
Pred zmenou rozmerov si zapíš, či hľadáš odpoveď pre dĺžku, povrch, kapacitu alebo množstvo materiálu. Tak rozhodneš, ktorý pomer je použiteľný a kde sú potrebné ďalšie geometrické údaje.
Aké zväčšenie sa zmestí na dostupné miesto?
K pôvodnému telesu s rozmermi 8 × 6 × 4 cm je teraz k dispozícii voľné miesto maximálne 11,8 × 9,4 × 6,1 cm. Poloha telesa je pevne daná: strana 8 cm smeruje do smeru 11,8 cm a tak ďalej. Rozmery už znamenajú dostupný vnútorný priestor.
Spoločný násobok k musí spĺňať všetky tri podmienky:
- 8k ≤ 11,8, preto k ≤ 1,475;
- 6k ≤ 9,4, preto k ≤ 1,5666…;
- 4k ≤ 6,1, preto k ≤ 1,525.
Rozhoduje najmenšia horná hranica: k = 1,475, teda rozmery možno zväčšiť na 147,5 % pôvodných hodnôt. Výsledné teleso má rozmery 11,8 × 8,85 × 5,9 cm. V druhom a treťom smere zostáva miesto; prvý smer obmedzuje spoločné zväčšenie.
Jeho objem je 11,8 × 8,85 × 5,9 = 616,137 cm³, povrch je 208 × 1,475² = 452,53 cm². Objem je 3,209046875-násobkom pôvodných 192 cm³. Túto hranicu bolo potrebné určiť z rozmerov, pretože aj pri dostatočnom celkovom objeme priestoru môže jedna strana telesa presahovať dostupný rozmer.
Ak nastavenie akceptuje len celé percentá, pri 147 % dostaneš rozmery 11,76 × 8,82 × 5,88 cm. Pri 148 % je prvý rozmer už 11,84 cm, teda prekračuje limit 11,8 cm. Tu by bežné zaokrúhlenie zväčšenia na najbližšie celé číslo viedlo k chybnému rozhodnutiu.
Toto je geometrický výsledok pevnej orientácie a zadaných presných vnútorných rozmerov. Ak môžeš teleso otočiť, alebo k rozmerom treba nechať vôľu na montáž, počítaj s novými podmienkami. Potrebnú vôľu na montáž odčítaj od zadaných vnútorných rozmerov pred zväčšením. Ak vychádzaš z vonkajších rozmerov, najprv urči vnútorný priestor na základe hrúbok stien; od už vnútorných rozmerov to neodčítavaj znova.
Záverečná skúška vedomostí
Pri každej otázke označ jednu odpoveď. Každá správna odpoveď je 1 bod; nesprávna, vynechaná alebo viacnásobne označená otázka je 0 bodov. Spolu je možné získať 0–3 body. Riešenia si prečítaj až po odpovedaní.
1. Všetky rozmery plného telesa zväčšíš 1,5-násobne. O koľko sa zväčší objem?
- A) O 237,5 %; zmení sa na 337,5 % pôvodnej hodnoty.
- B) O 50 %.
- C) O 150 %.
2. Vonkajšie rozmery dutého telesa zväčšíš 1,5-násobne, hrúbku steny ponecháš nezmenenú. Dá sa automaticky preniesť násobok 3,375 na objem materiálu?
- A) Nie; rozdiel vnútorného a vonkajšieho telesa treba prepočítať.
- B) Áno, pretože hrúbka steny nič neznamená.
- C) Áno, všetky geometrické veličiny sa menia kubicky.
3. Teleso s rozmermi 8 × 6 × 4 cm sa musí v pevnej polohe zmestiť maximálne do priestoru 11,8 × 9,4 × 6,1 cm. Zväčšenie je nastaviteľné len v celých percentách. Aké je najväčšie povolené nastavenie?
- A) 150 %.
- B) 147 %.
- C) 148 %.
Riešenia a bodovanie
1. A. Násobok objemu je 1,5³ = 3,375. Nárast z toho je 3,375 − 1 = 2,375, teda 237,5 %. Na zopakovanie: Prečo štvorec a kocka?.
2. A. Nezmenená hrúbka steny ruší geometrickú podobnosť celého plášťa. V článku sa materiál zväčšuje z 38,784 na 89,344 cm³, čo je len približne 2,3036-násobok. Na zopakovanie: Späť z objemu na rozmery.
3. B. Z troch hraníc je 11,8/8 = 1,475 najprísnejšia. 147 % sa zmestí; pri 148 % je prvá strana 11,84 cm, čo je už príliš veľa. Na zopakovanie: Aké zväčšenie sa zmestí na dostupné miesto?.
Každá správna odpoveď je 1 bod; nesprávna alebo vynechaná odpoveď je 0 bodov. Celkový počet bodov môže byť 0–3.
- 0 bodov: znova si prepracuj časti označené v troch riešeniach a zapíš počiatočné podmienky príkladov.
- 1 bod: pri dvoch chybných otázkach odvoď správnu odpoveď; osobitne pripíš, ktorá podmienka chýbala alebo ktorý výpočtový krok bol vynechaný.
- 2 body: vráť sa k časti prislúchajúcej jedinej chybnej otázke, potom zmenou jedného vstupu znova over výsledok.
- 3 body: v tejto sérii úloh si správne aplikoval tri vzťahy. Skús jednu z kontrol v článku s vlastnými údajmi a zapíš si podmienky aj jednotky.
Preložené a upravené z maďarského článku: Maďarský originál článku.