Ha egy test minden hosszméretét másfélszeresére növeled, a felszíne 2,25-szörös, a térfogata 3,375-szörös lesz. A feltétel az, hogy az alak arányai megmaradjanak: a hosszúság, szélesség és magasság ugyanazzal a számmal változzon. Egyetlen oldal megnyújtása eltérő feladat.
Ezt a különbséget makett, csomagolótest, tárgyterv vagy műszaki rajz átméretezésekor is hasznos előre végigszámolni. A „150%-os méret” általában 1,5-szeres hosszméretet jelent. A térfogat ebből külön számítandó.
Miért négyzet és köb?
Jelölje a hosszméretek közös szorzóját k. Egy téglalap területe a × b. Nagyítás után (k × a) × (k × b) = k² × a × b. Egy téglatest térfogatának három tényezőjében jelenik meg k, így a szorzó k³. Hasonló alakzatoknál ez az összefüggés általánosan is használható.
Az Oak National Academy területnagyításról és térfogatnagyításról szóló tananyagai a megfelelő négyzetes és köbös kapcsolatot tárgyalják. A következő méretek saját szemléltető példák.
Egy tömör téglatest mérete legyen 8 × 6 × 4 cm. Térfogata 8 × 6 × 4 = 192 cm³. Másfélszeres nagyítás után 12 × 9 × 6 cm-t kapsz, így az új térfogat 12 × 9 × 6 = 648 cm³. Az arány 648 / 192 = 3,375.
A felszín az eredeti testnél 2 × (8 × 6 + 8 × 4 + 6 × 4) = 208 cm². A nagyított testnél 2 × (12 × 9 + 12 × 6 + 9 × 6) = 468 cm². Ez 468 / 208 = 2,25-szörös felszín.
| Mennyiség | Szorzó | Növekedés |
|---|---|---|
| Hosszméret | 1,5 | 50% |
| Felszín | 2,25 | 125% |
| Térfogat | 3,375 | 237,5% |
A „337,5%-ra nő” és a „237,5%-kal nő” közlés ugyanazt a végső térfogatot írja le. Az első az új értéket viszonyítja az eredetihez, a második csak a hozzáadódó részt.
A rajzi léptékváltás iránya
Egy 1:50 léptékű rajzon 4 cm egy 200 cm-es valós hosszat jelent. Ha ugyanezt az objektumot 1:40 léptékben szeretnéd ábrázolni, a rajzi hossz 200 / 40 = 5 cm lesz. A szükséges nagyítás 5 / 4 = 1,25, vagyis 125%.
A két lépték nevezőjéből közvetlenül is számolhatsz: 50 / 40 = 1,25. Az új rajzon a megfelelő terület 1,25² = 1,5625-szer akkora. A tényleges tárgy méretei ettől változatlanok; kizárólag az ábrázolás lett nagyobb.
A mértékegység-átváltóval egységesítsd a centimétert, métert, négyzet- és köbegységeket. A hatványokat és a többtagú felszínképletet a grafikus számológépben is ellenőrizheted. A méretarány meghatározásához neked kell eldöntened, mely hosszméretek felelnek meg egymásnak.
Térfogatból vissza a hosszmérethez
Ha a cél mindössze 20%-kal nagyobb térfogat, a térfogatszorzó 1,20. A hosszúság szorzója ennek köbgyöke: k = 1,20^(1/3) ≈ 1,06266. Ez körülbelül 6,27%-os hosszméret-növelést jelent minden irányban. A 20%-os hossznövelés ennél jóval nagyobb térfogatot eredményezne.
Üreges tárgynál vizsgáld meg a falvastagságot is. Ha a külső méretet növeled, de a falvastagság állandó, az anyag térfogata nem követi egyszerűen a külső térfogat köbös arányát. Az anyagmennyiséghez a külső és belső térfogat különbségét kell számolni. Ugyanígy az átméretezésből önmagában nem következik nyomtatási idő, teherbírás vagy gyártási költség.
A méretváltoztatás előtt írd le, hogy hosszra, felszínre, befogadóképességre vagy anyagmennyiségre keresel választ. Ezzel eldönthető, melyik arány használható, és melyikhez szükséges további geometriai adat.