Viteza medie dus-întors: când să calculezi cu distanța și când cu timpul?

Cunoașterea a două viteze nu este suficientă pentru a determina viteza medie a întregului drum. Trebuie să știi și cât timp ai mers sau pe ce distanță ai parcurs acele viteze. Dacă mergi dus și întors pe aceeași distanță, segmentul mai lent ocupă mai mult timp, deci are o influență mai mare asupra mediei totale.

Calculatorul de viteză medie dus-întors (în maghiară) este conceput pentru drumuri dus și întors de lungime identică. Gestionează separat opririle și calculează invers distanța pe un sens din timpul total cunoscut. Următoarele exemple sunt modele matematice cu viteze constante pe segmente; pe un traseu real, traficul și limitele de viteză impun constrângeri suplimentare.

Formula de bază este aceeași pentru fiecare segment

Viteză medie = distanța totală parcursă / timpul total scurs.

Această definiție se regăsește și în materialul de fizică OpenStax despre viteză. În distanța totală incluzi toate segmentele parcurse. În timpul scurs, opririle sunt incluse în funcție de faptul că cauți media întregii călătorii sau media în timpul mișcării.

Dacă parcurgi 150 kilometri în 3 ore de la plecare până la sosire, media totală este 50 km/h. Acest număr nu se schimbă în sine în funcție de câte segmente mai rapide sau mai lente au existat. Detalierea traseului este necesară doar atunci când trebuie să calculezi încă timpul total.

Pentru un segment cu viteză variabilă, poți folosi media măsurată a acestuia, dacă aceasta este raportul dintre distanța totală a segmentului și timpul aferent. O viteză instantanee sau de vârf nu este potrivită pentru acest scop. Notează dacă baza temporală a mediei pe segment include opririle: așteptarea deja inclusă nu trebuie adăugată a doua oară la total.

Unitățile de timp și viteză trebuie să fie compatibile. Pentru viteza în km/h, calculează timpul în ore. 90 minute sunt 1,5 ore; împărțirea directă la 90 minute ar da unitatea km/minut, care are o valoare numerică diferită.

Distanță egală: de ce 48 km/h pentru 60 și 40 km/h?

Să presupunem că distanța pe un sens este 120 km. La dus, viteza constantă este 60 km/h, deci drumul durează 120 / 60 = 2 ore. La întoarcere, cu 40 km/h, sunt necesare 120 / 40 = 3 ore. Distanța totală este 240 km, timpul este 5 ore, deci media este 48 km/h.

Media aritmetică a celor două viteze ar fi 50. Aici diferă deoarece 40 km/h a fost valabil timp de trei ore, în timp ce 60 km/h timp de două ore. Ponderând cu timpul, obții același rezultat: (60 × 2 + 40 × 3) / (2 + 3) = 48.

Pentru două segmente de lungime egală fără opriri, formula scurtă este 2 × v₁ × v₂ / (v₁ + v₂). În exemplu, 2 × 60 × 40 / 100 = 48. Aceasta este media armonică a celor două viteze pozitive. Scrie întotdeauna condițiile formulei, deoarece nu poate fi aplicată fără modificări la distanțe diferite.

Distanța pe un sens dispare aici din raport. Drumul de 12 + 12 kilometri și cel de 120 + 120 kilometri oferă aceeași medie fără opriri cu cele două viteze date. Durata timpului se schimbă, bineînțeles, de zece ori.

Durată egală: când este corect 50 km/h?

Acum mergi timp de jumătate de oră cu 60 km/h, apoi timp de jumătate de oră cu 40 km/h. Primul segment este 30 km, al doilea 20 km. Distanța totală este 50 km, timpul total este 1 ore. Media este 50 km/h, care este chiar media aritmetică a celor două viteze.

În acest exemplu, timpii segmentelor sunt egali, dar distanțele diferă. Dacă fiecare segment are aceeași durată, poți media pur și simplu vitezele. Pentru durate diferite, este necesară o medie ponderată cu timpii.

Zece minute cu 60 km/h înseamnă 10 kilometri. Cincizeci de minute cu 40 km/h înseamnă 33,333… kilometri. Media pe o oră este astfel 43,333… km/h. Perechea de viteze rămâne neschimbată, dar proporțiile diferite de timp aduc un rezultat nou. De aceea, pentru media unui antrenament sau a unui traseu, păstrează și duratele segmentelor.

Oprire: două medii sensibile, diferite

Să revenim la drumul dus-întors de 120 kilometri. Timpul de mișcare este 5 ore, cu un total de 30 minute de oprire. Timpul total scurs este 5,5 ore. Media în timpul mișcării rămâne 48 km/h, dar media calculată de la plecare până la sosire este 240 / 5,5 = 43,636… km/h.

Calculatorul oferă ambele rezultate. La planificarea timpului de deplasare, pornește de la datele care includ opririle, deoarece ora reală de sosire influențează întâlnirea sau conexiunea. În jurnalul de performanță, notează care medie este folosită, pentru ca zilele diferite să fie comparabile.

Pauza automată a unei aplicații de cronometru poate modifica baza afișată. Dacă un dispozitiv omite așteptarea, iar celălalt o include, pot afișa medii diferite pentru același drum. Cu calculatorul de diferență de timp poți verifica separat timpul scurs din ora de plecare și cea de sosire.

Calculul invers al distanței din timpul total

Cunoști cele două viteze constante pe segmente: 60 și 40 km/h. Drumul dus-întors, inclusiv oprirea, a durat 330 minute, din care 30 minute au fost pauză. Timpul de mișcare este 300 minute, adică 5 ore. Fie d distanța necunoscută pe un sens.

Ecuația timpului este d / 60 + d / 40 = 5. Coeficientul celor două rapoarte de timp este 1/60 + 1/40 = 1/24, deci d / 24 = 5. De aici, d = 120 km. În modul de timp al calculatorului, obții același lucru introducând timpul total și oprirea.

Dacă timpul de oprire este egal sau mai mare decât timpul total, modelul nu poate genera o distanță pozitivă. În acest caz, intrările trebuie corectate. Din 330 minute, scade pauza o singură dată; reintroducerea 30 minute lângă timpul de mișcare curățat de 300 minute ar duce la o distanță eronată.

Este realizabilă media totală țintă?

O excursie teoretică are 10 km dus și 10 km întors. Viteza constantă la dus este 4 km/h, și planifici un total de jumătate de oră de oprire. Drumul la dus consumă singur 10 / 4 = 2,5 ore. Acum căutăm viteza la întoarcere din media totală dorită.

Dacă media țintă este 4 km/h inclusiv oprirea, pentru totalul de 20 km sunt alocate 20 / 4 = 5 ore. Pentru întoarcere rămân 5 − 2,5 − 0,5 = 2 ore. Pentru aceasta este necesară o viteză la întoarcere de 5 km/h (10 / 2).

Dacă ridici media țintă la 5 km/h, timpul total poate fi doar 20 / 5 = 4 ore. Pentru întoarcere rămân 4 − 2,5 − 0,5 = 1 ore, deci ar fi necesari 10 km/h. Creșterea cu 25% a mediei țintă în această situație cere o viteză la întoarcere dublă.

Măsoară planul față de ritmul real asumat. Dacă la întoarcere poți calcula cu maximum 5 km/h, în acest exemplu media totală va fi cel mult 4 km/h. Pentru un țintă mai mare, trebuie să modifici traseul, planul de plecare sau timpul disponibil.

Există și o limită pur matematică. Drumul la dus și pauza ocupă deja 3 ore; orice distanță pozitivă la întoarcere adaugă timp suplimentar. De aceea, media totală este mai mică decât 20 / 3 ≈ 6,6667 km/h, indiferent de viteza finită la întoarcere pe care o introduci. Atingerea acestei limite ar cere timp zero la întoarcere.

În general, calculează mai întâi raportul distanța totală / media țintă. Scade timpul de mers cunoscut și opririle. Doar dintr-un rest pozitiv se poate calcula o viteză la întoarcere pozitivă și finită. În calculator, poți verifica media reintroducând viteza obținută în modul de distanță; nu există un câmp separat pentru planificarea vitezei țintă.

Distanțe diferite și mai multe segmente

În exemplul teoretic, parcurgi un segment de 200 km cu 50 km/h, apoi unul de 100 km cu 100 km/h. Timpii sunt 4 și 1 ore. La totalul de 300 km corespund 5 ore, deci media este 60 km/h. Formula scurtă derivată pentru două viteze pe distanțe egale ar da aici un rezultat diferit.

Pentru mai multe segmente, lucrează la fel: calculează timpul pentru fiecare, adună distanțele și timpii, apoi împarte cele două sume. Convertorul de unități ajută dacă distanțele sau vitezele de intrare sunt în unități diferite.

Capitolul OpenStax care prezintă ecuațiile mișcării oferă exemple suplimentare pentru relația distanță = viteză × timp. În instrumentul DG dus-întors, distanța pe un sens este comună pentru ambele segmente, deci verifică separat exemplul de 200 și 100 kilometri prin totalizare.

La curent, raportează ambele viteze la mal

Într-un model ideal de barcă, viteza constantă față de apă este 10 km/h, iar curentul uniform al râului este 2 km/h. Barca merge zece kilometri în aval paralel cu curentul, apoi se întoarce pe același segment. Viteza față de mal în aval este 12 km/h, iar în amonte 8 km/h. Adunarea este derivată în capitolul OpenStax despre mișcarea relativă.

Timpul total de deplasare este 10/12 + 10/8 ≈ 2,0833 ore. Media distanței calculată cu timpul nerotunjit este 20 / (10/12 + 10/8) = 9,6 km/h. Creșterea cu doi km/h într-o direcție și scăderea cu aceeași valoare în cealaltă nu restabilește media de 10 km/h: direcția mai lentă durează mai mult.

În general, pentru viteza v față de apă și curentul u, pentru două distanțe egale, formula este v_medie = (v² − u²)/v = v − u²/v, cu condiția ca 0 ≤ u < v și să nu existe opriri. Dacă u atinge v, în model barca nu mai avansează în amonte; atunci nu se poate construi un drum dus-întors cu timp finit. Exemplul este un calcul de viteză și timp, nu dimensionarea performanței reale a bărcii sau a siguranței unei călătorii.

Distanță și deplasare: zero poate fi corect

Dacă te întorci la punctul de plecare, deplasarea ta este zero. Viteza medie calculată din distanța totală este totuși pozitivă. În fizică, raportul deplasare/timp corespunde vectorului viteză medie; merită să-l separi de valoarea distanță/timp.

Calculatorul afișează media distanței reale parcurse. La verificare, fără opriri, rezultatul trebuie să fie între cele două viteze pozitive pe segmente. Cu opriri, poate fi mai mic decât viteza de mișcare mai mică. Cu aceste două verificări rapide, multe erori de unități și gestionare a timpului pot fi observate înainte de utilizarea rezultatului.

Test final de cunoștințe

Bifează un răspuns pentru fiecare întrebare. Fiecare răspuns corect valorează 1 punct; întrebarea greșită, omisă sau cu mai multe răspunsuri bificate valorează 0 puncte. Se pot obține în total 0–3 puncte. Citește soluțiile după ce ai răspuns.

1. Parcurgi 120 km cu 60 km/h și aceeași distanță cu 40 km/h, fără opriri. Care este viteza medie a întregului drum?

• A) 48 km/h.
• B) 40 km/h.
• C) 50 km/h.

2. Ai mers pe jos 10 km cu 4 km/h, apoi te-ai odihnit o jumătate de oră. Ce viteză la întoarcere este necesară pentru ca media drumului de 20 km, inclusiv pauza, să fie 5 km/h?

• A) 10 km/h.
• B) 5 km/h.
• C) 6 km/h.

3. Viteza bărcii față de apă este 10 km/h, iar a curentului 2 km/h. Care este viteza medie față de mal pentru drumul dus-întors de 10–10 km, fără opriri?

• A) 9,6 km/h.
• B) 10 km/h.
• C) 12 km/h.

Soluții și punctaj

1. A. Cei doi timpi sunt 2 și 3 ore. Distanța totală de 240 km corespunde la 5 ore, deci 240/5 = 48 km/h. Pentru repetiție: Distanță egală: de ce 48 km/h pentru 60 și 40 km/h?.

2. A. Ținta permite în total 20/5 = 4 ore. Din acestea, 2,5 ore sunt mers pe jos și 0,5 ore pauză, deci rămân 1 ore pentru 10 km. Pentru repetiție: Este realizabilă media totală țintă?.

3. A. Față de mal, cele două viteze sunt 12 și 8 km/h. Timpul total este 10/12 + 10/8 ore, deci media pentru drumul de 20 km este 9,6 km/h. Pentru repetiție: La curent, raportează ambele viteze la mal.

Fiecare răspuns corect valorează 1 punct; răspunsul greșit sau omis valorează 0 puncte. Punctajul total poate fi 0–3.

• 0 puncte: refă cele trei secțiuni marcate în soluții și scrie condițiile inițiale ale exemplelor.
• 1 punct: la cele două întrebări greșite, derivă răspunsul corect; notează separat ce condiție sau pas de calcul a lipsit.
• 2 puncte: revino la secțiunea legată de singura întrebare greșită, apoi verifică din nou rezultatul modificând o intrare.
• 3 puncte: ai aplicat corect cele trei relații în acest set de exerciții. Încearcă una dintre verificările articolului cu date proprii, notând și condițiile și unitățile de măsură.

Tradus și adaptat din articolul în limba maghiară: Articolul original în maghiară.