Poznanie dvoch rýchlostí samo o sebe nestačí na výpočet priemernej rýchlosti celej cesty. Musíš tiež vedieť, ako dlho alebo na akej vzdialenosti si sa nimi pohyboval. Ak ideš tam a späť rovnako dlhú cestu, pomalší úsek zaberie viac času, a preto bude mať väčší vplyv na celkový priemer.
Kalkulačka priemernej rýchlosti tam a späť (v maďarčine) je určená pre rovnako dlhé cesty tam a späť. Osobitne rieši zastávky a z celkového známeho času vypočíta aj vzdialenosť jedným smerom. Nasledujúce príklady sú matematické modely s konštantnými rýchlosťami na úsekoch; na skutočnej trase predstavujú doprava a povolené rýchlosti ďalšie obmedzenia.
Základný vzorec je pre každý úsek rovnaký
Priemerná rýchlosť = celková prejdená cesta / celkový uplynutý čas.
Táto definícia sa nachádza aj v fyzikálnom materiáli OpenStax o rýchlosti. Do celkovej cesty započítaš všetky prejdené úseky. Do uplynutého času sa zastávky zaradia podľa toho, či hľadáš priemer celej cesty alebo priemer počas pohybu.
Ak prejdeš 150 kilometrov za 3 hodiny od štartu do cieľa, celkový priemer je 50 km/h. Toto číslo samo o sebe nemení to, koľko rýchlejších alebo pomalších úsekov bolo medzi tým. Podrobný rozpis trasy je potrebný vtedy, keď ešte musíš vypočítať celkový čas.
Pri úseku s premenlivou rýchlosťou môžeš použiť jeho nameraný priemer, ak je podielom celkovej cesty tohto úseku a k nemu prislúchajúceho času. Okamžitá alebo maximálna rýchlosť na to nie je vhodná. Ujasni si, či časový základ priemeru úseku zahŕňa zastávky: už započítané čakanie nesmieš v súčte pripočítať druhýkrát.
Jednotky času a rýchlosti musia byť v súlade. K rýchlosti v km/h počítaj čas v hodinách. 90 minút je 1,5 hodiny; priame delenie 90 minútami by dalo jednotku km/min, čo je iná číselná hodnota.
Rovnaká vzdialenosť: prečo je pri 60 a 40 km/h výsledok 48?
Predpokladajme, že cesta jedným smerom je 120 km. Tam je konštantná rýchlosť 60 km/h, preto cesta trvá 120 / 60 = 2 hodiny. Späť pri 40 km/h treba 120 / 40 = 3 hodiny. Celková vzdialenosť je 240 km, čas 5 hodín, takže priemer je 48 km/h.
Aritmetický priemer dvoch rýchlostí by bol 50. Tu sa líši preto, že 40 km/h platilo tri hodiny, zatiaľ čo 60 km/h dve hodiny. Časovo vážený priemer dáva rovnaký výsledok: (60 × 2 + 40 × 3) / (2 + 3) = 48.
Pre dva úseky rovnakej dĺžky bez zastávok je kratší vzorec 2 × v₁ × v₂ / (v₁ + v₂). V príklade 2 × 60 × 40 / 100 = 48. Toto je harmonický priemer dvoch kladných rýchlostí. Vždy si zapíš podmienky vzorca, pretože na rôzne dĺžky ciest sa nedá aplikovať bez úprav.
Vzdialenosť jedným smerom tu vypadne z podielu. Cesta 12 + 12 kilometrov a cesta 120 + 120 kilometrov bez zastávok dáva rovnaký priemer pri zadaných dvoch rýchlostiach. Trvanie cesty sa prirodzene zmení desaťnásobne.
Rovnaký časový úsek: kedy je správne 50 km/h?
Teraz ideš pol hodiny rýchlosťou 60 km/h a potom pol hodiny rýchlosťou 40 km/h. Prvý úsek je 30 km, druhý 20 km. Celková cesta je 50 km, celkový čas 1 hodina. Priemer je 50 km/h, čo je skutočne aritmetický priemer dvoch rýchlostí.
V tomto príklade je čas úsekov rovnaký, vzdialenosti sa líšia. Ak je každý úsek rovnako dlhý časovo, rýchlosti môžeš jednoducho spriemerovať. Pri rôznych časových úsekoch je potrebný časovo vážený priemer.
Desať minút pri 60 km/h znamená 10 kilometrov. Päťdesiat minút pri 40 km/h znamená 33,333… kilometra. Celkový hodinový priemer je teda 43,333… km/h. Dvojica rýchlostí je nezmenená, ale odlišný časový pomer prináša nový výsledok. Preto na priemer tréningu alebo trasy si musíš ponechať aj dĺžky časových úsekov.
Zastávka: dva zmysluplné, odlišné priemery
Vráťme sa k ceste dlhej 120 kilometrov v každom smere. Čas pohybu je 5 hodín, pričom je spolu 30 minút zastávok. Celkový uplynutý čas je 5,5 hodiny. Priemer počas pohybu zostáva 48 km/h, ale priemer počítaný od štartu do cieľa je 240 / 5,5 = 43,636… km/h.
Kalkulačka uvádza oba výsledky. Pri plánovaní času cesty vychádzaj z údajov, ktoré počítajú so zastávkami, pretože čas stretnutia alebo prestupu ovplyvňuje skutočný príchod. V denníku výkonov si zase zaznamenaj, ktorý priemer je uvedený, aby boli jednotlivé dni porovnateľné.
Automatické pozastavenie aplikácie na meranie času môže zmeniť zobrazený základ. Ak jedno zariadenie vynechá čakanie, druhé ho započíta, môžu ukázať odlišné priemery na tú istú cestu. S kalkulačkou časového rozdielu môžeš osobitne skontrolovať uplynutý čas z času štartu a príchodu.
Výpočet vzdialenosti z celkového času
Poznáš dve konštantné rýchlosti úsekov: 60 a 40 km/h. Cesta tam a späť vrátane zastávky trvala 330 minút, z toho 30 minút bola prestávka. Čas pohybu je 300 minút, teda 5 hodín. Neznáma vzdialenosť jedným smerom nech je d.
Časová rovnica je d / 60 + d / 40 = 5. Koeficient dvoch časových podielov je 1/60 + 1/40 = 1/24, teda d / 24 = 5. Z toho d = 120 km. V časovom režime kalkulačky dostaneš to isté zadaním celkového času a zastávky.
Ak je čas zastávky rovný celkovému času alebo dlhší, z modelu nemôže vyplynúť kladná dĺžka cesty. V takom prípade je potrebné opraviť vstupy. Z 330 minút odčítaj prestávku raz; k už očistenému 300-minútovému času pohybu by opätovné zadanie 30 minút viedlo k chybnému výsledku vzdialenosti.
Je vôbec dosiahnuteľný cieľový celkový priemer?
Teoretická túra má v každom smere dĺžku 10 km. Konštantná rýchlosť tam je 4 km/h a plánuješ spolu 0,5 hodiny zastávok. Cesta tam sama o sebe spotrebuje 10 / 4 = 2,5 hodiny. Rýchlosť späť teraz hľadáme z požadovaného celkového priemeru.
Ak je cieľový priemer 4 km/h vrátane zastávky, na celých 20 km pripadá 20 / 4 = 5 hodín. Na cestu späť zostáva 5 − 2,5 − 0,5 = 2 hodiny. Na to je potrebná rýchlosť späť 10 / 2 = 5 km/h.
Ak zvýšiš cieľový priemer na 5 km/h, celkový čas môže byť už len 20 / 5 = 4 hodiny. Na cestu späť zostáva 4 − 2,5 − 0,5 = 1 hodina, takže by bolo potrebných 10 km/h. Zvýšenie cieľového priemeru o 25 % si v tejto situácii vyžaduje dvojnásobnú rýchlosť späť.
| Cieľový celkový priemer so zastávkou | Povolený celkový čas | Čas zostávajúci na cestu späť | Potrebná rýchlosť späť |
|---|---|---|---|
| 4 km/h | 5 hodín | 2 hodiny | 5 km/h |
| 5 km/h | 4 hodiny | 1 hodina | 10 km/h |
Plán porovnávaj so skutočne zvládnuteľným tempom. Ak na ceste späť môžeš počítať maximálne s 5 km/h, v tomto príklade bude celkový priemer maximálne 4 km/h. Na vyšší cieľ je potrebné zmeniť trasu, plán štartu alebo dostupný čas.
Existuje aj čisto matematické obmedzenie. Cesta tam a prestávka už zaberajú 3 hodiny; k tomu každá kladne dlhá cesta späť pridáva ďalší čas. Celkový priemer je preto menší ako 20 / 3 ≈ 6,6667 km/h, bez ohľadu na to, akú konečnú rýchlosť späť zadáš. Dosiahnutie tejto hranice by si vyžadovalo nulový čas na cestu späť.
Všeobecne najprv vypočítaj podiel celková cesta / cieľový priemer. Odčítaj už známy čas jazdy a zastávky. Kladná, konečná rýchlosť späť sa dá vypočítať len z kladného zvyšku. V kalkulačke môžeš skontrolovať priemer tak, že túto rýchlosť prepíšeš späť do režimu vzdialenosti; samostatné pole na plánovanie cieľovej rýchlosti nie je.
Rôzne dĺžky ciest a viacero úsekov
V teoretickom príklade prejdeš úsek 200 km rýchlosťou 50 km/h a potom úsek 100 km rýchlosťou 100 km/h. Časy sú 4 a 1 hodina. K celkovým 300 km patrí 5 hodín, preto je priemer 60 km/h. Krátky vzorec odvodený pre dve rýchlosti na rovnakej vzdialenosti by tu dal iný výsledok.
S viacerými úsekmi pracuj rovnakým spôsobom: ku každému vypočítaj čas, sčítaj cesty a časy a nakoniec vydeľ dva súčty. Prevodník jednotiek pomôže, ak sú vstupné vzdialenosti alebo rýchlosti v rôznych jednotkách.
Kapitola OpenStax predstavujúca pohybové rovnice poskytuje ďalšie príklady na vzťah cesta = rýchlosť × čas. V nástroji DG tam a späť je vzdialenosť jedným smerom spoločná pre oba úseky, takže príklad s 200 a 100 kilometrami skontroluj osobitným súčtom.
Pri prúde porovnávaj obe rýchlosti vzhľadom na breh
Vo vlastnom ideálnom modeli lode je konštantná rýchlosť vzhľadom na vodu 10 km/h a rovnomerný prúd rieky je 2 km/h. Loď ide po prúde desať kilometrov a potom sa vracia po tej istej trase. Rýchlosť vzhľadom na breh po prúde je 12 km/h, proti prúdu 8 km/h. Sčítanie odvodzuje kapitola OpenStax o relatívnom pohybe.
Celkový čas jazdy je 10/12 + 10/8 ≈ 2,0833 hodiny. Priemerná rýchlosť vypočítaná z nezaokrúhleného času je 20 / (10/12 + 10/8) = 9,6 km/h. Nárast o dva km/h v jednom smere a rovnaký pokles v druhom smere teda neobnoví priemer 10 km/h: pomalší smer trvá dlhšie.
Všeobecne pri rýchlosti v vzhľadom na vodu a prúde u platí pre dve rovnaké dĺžky ciest vzorec v_priemer = (v² − u²)/v = v − u²/v, za predpokladu, že 0 ≤ u < v a nie sú žiadne zastávky. Ak u dosiahne v, loď v modeli proti prúdu už nepostupuje; potom sa nedá zostaviť ani cesta tam a späť s konečným časom. Príklad je výpočet rýchlosti a času, neurčuje výkon skutočnej lode ani bezpečnosť cesty.
Cesta a posunutie: nula môže byť správna
Ak sa vrátiš na východiskový bod, tvoje posunutie je nula. Priemerná rýchlosť vypočítaná z celkovej cesty je napriek tomu kladná. Vo fyzike patrí podiel posunutie/čas k priemernej rýchlosti vektorovej; je vhodné ho odlíšiť od skalárneho priemeru prejdená cesta/čas.
Kalkulačka zobrazuje priemer skutočne prejdenej cesty. Na kontrolu bez zastávok musí výsledok ležať medzi dvoma kladnými rýchlosťami úsekov. So zastávkami môže byť nižší aj ako menšia rýchlosť pohybu. Tieto dve rýchle kontroly umožnia odhaliť veľa chýb v jednotkách a čase ešte pred použitím výsledku.
Záverečná skúška vedomostí
Pri každej otázke označ jednu odpoveď. Každá správna odpoveď je 1 bod; nesprávna, vynechaná alebo viacnásobne označená otázka je 0 bodov. Spolu je možné získať 0–3 body. Riešenia si prečítaj až po odpovedaní.
1. Prejdeš 120 km rýchlosťou 60 km/h a rovnako dlhú cestu rýchlosťou 40 km/h bez zastávok. Aká je priemerná rýchlosť celej cesty?
- A) 48 km/h.
- B) 40 km/h.
- C) 50 km/h.
2. Prešiel si 10 km rýchlosťou 4 km/h pešo a potom si pol hodiny oddychoval. Aká rýchlosť späť je potrebná na to, aby celková cesta 20 km mala priemer 5 km/h vrátane oddychu?
- A) 10 km/h.
- B) 5 km/h.
- C) 6 km/h.
3. Rýchlosť člna vzhľadom na vodu je 10 km/h, rýchlosť prúdu je 2 km/h. Aká je priemerná rýchlosť cesty tam a späť 10–10 km vzhľadom na breh bez zastávok?
- A) 9,6 km/h.
- B) 10 km/h.
- C) 12 km/h.
Riešenia a bodovanie
1. A. Dva časy sú 2 a 3 hodiny. Celková cesta 240 km patrí k 5 hodinám, preto 240/5 = 48 km/h. Na zopakovanie: Rovnaká vzdialenosť: prečo je pri 60 a 40 km/h výsledok 48?.
2. A. Cieľ celkovo povoľuje 20/5 = 4 hodiny. Z toho uplynulo 2,5 hodiny chôdze a 0,5 hodiny oddychu, preto na 10 km zostáva 1 hodina. Na zopakovanie: Je vôbec dosiahnuteľný cieľový celkový priemer?.
3. A. Vzhľadom na breh sú dve rýchlosti 12 a 8 km/h. Celkový čas je 10/12 + 10/8 hodiny, preto priemer cesty 20 km je 9,6 km/h. Na zopakovanie: Pri prúde porovnávaj obe rýchlosti vzhľadom na breh.
Každá správna odpoveď je 1 bod; nesprávna alebo vynechaná odpoveď je 0 bodov. Celkový počet bodov môže byť 0–3.
- 0 bodov: znovu si prepracuj časti označené v troch riešeniach a zapíš počiatočné podmienky príkladov.
- 1 bod: pri dvoch nesprávnych otázkach odvoď správnu odpoveď; osobitne si zapíš, ktorá podmienka chýbala alebo ktorý výpočtový krok bol vynechaný.
- 2 body: vráť sa k časti prislúchajúcej jedinej nesprávnej otázke a potom zmenou jedného vstupu znovu skontroluj výsledok.
- 3 body: tri vzťahy si v tomto súbore úloh použil správne. Vyskúšaj jednu z kontrol z článku s vlastnými údajmi a zaznamenaj si podmienky aj jednotky.
Preložené a upravené z maďarského článku: Maďarský originál článku.