Die Kenntnis zweier Geschwindigkeiten allein reicht für den Durchschnitt der gesamten Strecke nicht aus. Du musst auch wissen, wie lange oder über welche Distanz du dich mit ihnen bewegt hast. Wenn Hin- und Rückweg gleich lang sind, nimmt der langsamere Abschnitt mehr Zeit in Anspruch und hat daher einen größeren Einfluss auf den Gesamtdurchschnitt.
Der Hin- und Rückweg-Durchschnittsgeschwindigkeits-Rechner (auf Ungarisch) ist für gleich lange Hin- und Rückwege konzipiert. Er behandelt Pausen separat und berechnet die einfache Distanz auch aus einer bekannten Gesamtzeit. Die folgenden Beispiele sind mathematische Modelle mit konstanten Abschnittsgeschwindigkeiten; auf realen Routen stellen Verkehr und zulässige Geschwindigkeiten zusätzliche Einschränkungen dar.
Die Grundformel ist bei jedem Abschnitt dieselbe
Durchschnittsgeschwindigkeit = gesamte zurückgelegte Strecke / gesamte verstrichene Zeit.
Diese Definition findet sich auch im OpenStax-Physikmaterial zur Geschwindigkeit. In die gesamte Strecke zählst du jeden zurückgelegten Abschnitt hinein. In die verstrichene Zeit werden Pausen einbezogen, je nachdem, ob du den Durchschnitt der gesamten Reise oder den Durchschnitt während der Bewegung suchst.
Wenn du 150 Kilometer in 3 Stunden von der Abfahrt bis zur Ankunft zurücklegst, beträgt der Gesamtdurchschnitt 50 km/h. Diese Zahl ändert sich nicht dadurch, wie viele schnellere oder langsamere Abschnitte es unterwegs gab. Eine detaillierte Aufschlüsselung der Route ist nur dann erforderlich, wenn du die Gesamtzeit noch berechnen musst.
Bei einem Abschnitt mit variabler Geschwindigkeit kannst du dessen gemessenen Durchschnitt verwenden, wenn dies der Quotient aus der gesamten Strecke des Abschnitts und der zugehörigen Zeit ist. Eine Momentan- oder Spitzengeschwindigkeit ist dafür nicht geeignet. Halte fest, ob die Zeitbasis des Abschnittsdurchschnitts Pausen enthält: Bereits eingerechnete Wartezeiten dürfen in der Gesamtsumme nicht ein zweites Mal hinzugefügt werden.
Die Einheiten für Zeit und Geschwindigkeit müssen übereinstimmen. Zur Geschwindigkeit in km/h rechne die Zeit in Stunden. 90 Minuten sind 1,5 Stunden; eine direkte Division durch 90 Minuten würde die Einheit km/Minute ergeben, was einen anderen Zahlenwert bedeutet.
Gleiche Distanz: Warum 48 bei 60 und 40 km/h?
Nehmen wir an, der einfache Weg beträgt 120 km. Hin beträgt die konstante Geschwindigkeit 60 km/h, daher dauert der Weg 120 / 60 = 2 Stunden. Zurück dauert es bei 40 km/h 120 / 40 = 3 Stunden. Die gesamte Distanz beträgt 240 km, die Zeit 5 Stunden, somit beträgt der Durchschnitt 48 km/h.
Das arithmetische Mittel der beiden Geschwindigkeiten wäre 50. Dies weicht hier ab, weil 40 km/h drei Stunden lang galt, während 60 km/h zwei Stunden lang galt. Zeitgewichtet erhältst du dasselbe Ergebnis: (60 × 2 + 40 × 3) / (2 + 3) = 48.
Für zwei gleich lange Streckenabschnitte ohne Pausen lautet die kürzere Formel 2 × v₁ × v₂ / (v₁ + v₂). Im Beispiel ergibt sich 2 × 60 × 40 / 100 = 48. Dies ist das harmonische Mittel der beiden positiven Geschwindigkeiten. Schreibe immer die Bedingungen der Formel dazu, denn sie ist ohne Änderung nicht auf unterschiedliche Streckenlängen anwendbar.
Die einfache Distanz fällt hier im Quotienten weg. Eine 12 + 12 Kilometer lange und eine 120 + 120 Kilometer lange Strecke ergeben ohne Pausen denselben Durchschnitt bei den angegebenen beiden Geschwindigkeiten. Die Dauer verändert sich natürlich um das Zehnfache.
Gleiche Zeitdauer: Wann ist 50 km/h korrekt?
Jetzt fährst du eine halbe Stunde lang 60 km/h und dann eine halbe Stunde lang 40 km/h. Der erste Abschnitt beträgt 30 km, der zweite 20 km. Die gesamte Strecke beträgt 50 km, die gesamte Zeit 1 Stunde. Der Durchschnitt beträgt 50 km/h, was tatsächlich dem arithmetischen Mittel der beiden Geschwindigkeiten entspricht.
In diesem Beispiel sind die Zeiten der Abschnitte gleich, ihre Entfernungen unterscheiden sich. Wenn jeder Abschnitt die gleiche Zeitdauer hat, kannst du die Geschwindigkeiten einfach mitteln. Bei unterschiedlichen Zeitdauern ist ein zeitgewichtetes Mittel erforderlich.
Zehn Minuten bei 60 km/h entsprechen 10 Kilometern. Fünfzig Minuten bei 40 km/h entsprechen 33,333… Kilometern. Der einstündige Gesamtdurchschnitt beträgt somit 43,333… km/h. Das Geschwindigkeitspaar bleibt unverändert, aber das unterschiedliche Zeitverhältnis führt zu einem neuen Ergebnis. Behalte daher für den Durchschnitt eines Trainings oder einer Route auch die Zeitdauern der Abschnitte bei.
Pause: Zwei sinnvolle, unterschiedliche Durchschnitte
Kehren wir zum 120 Kilometer langen Hin- und Rückweg zurück. Die Bewegungszeit beträgt 5 Stunden, dabei gibt es insgesamt 30 Minuten Pause. Die gesamte verstrichene Zeit beträgt 5,5 Stunden. Der Durchschnitt während der Bewegung bleibt 48 km/h, der von Abfahrt bis Ankunft berechnete Durchschnitt beträgt jedoch 240 / 5,5 = 43,636… km/h.
Der Rechner gibt beide Ergebnisse an. Bei der Planung der Fahrzeit solltest du von den Daten ausgehen, die Pausen berücksichtigen, da die tatsächliche Ankunft den Zeitpunkt des Treffens oder der Anschlussfahrt beeinflusst. Im Leistungstagebuch solltest du notieren, welcher Durchschnitt angegeben wird, damit verschiedene Tage vergleichbar bleiben.
Die automatische Pausenfunktion einer Zeitmess-App kann die angezeigte Basis verändern. Wenn ein Gerät die Wartezeit auslässt, ein anderes sie einbezieht, können sie für dieselbe Strecke unterschiedliche Durchschnitte anzeigen. Mit dem Zeitdifferenz-Rechner kannst du die verstrichene Zeit separat aus Start- und Ankunftszeit überprüfen.
Die Distanz aus der Gesamtzeit zurückrechnen
Du kennst die beiden konstanten Abschnittsgeschwindigkeiten: 60 und 40 km/h. Der Hin- und Rückweg dauerte einschließlich Pausen 330 Minuten, davon 30 Minuten Pause. Die Bewegungszeit beträgt 300 Minuten, also 5 Stunden. Die unbekannte einfache Distanz sei d.
Die Zeitgleichung lautet d / 60 + d / 40 = 5. Der Koeffizient der beiden Zeitquotienten ist 1/60 + 1/40 = 1/24, also d / 24 = 5. Daraus folgt d = 120 km. Im Zeitmodus des Rechners erhältst du dasselbe Ergebnis, wenn du die Gesamtzeit und die Pause angibst.
Wenn die Pausenzeit gleich der Gesamtzeit oder länger ist, kann das Modell keine positive Streckenlänge ergeben. In diesem Fall müssen die Eingaben korrigiert werden. Ziehe die Pause einmal von den 330 Minuten ab; die bereits bereinigte 300 Minuten dauernde Bewegungszeit würde bei erneuter Eingabe von 30 Minuten zu einer falschen Distanz führen.
Ist der angestrebte Gesamtdurchschnitt überhaupt erreichbar?
Eine theoretische Tour ist hin und zurück jeweils 10 km. Die konstante Geschwindigkeit auf dem Hinweg beträgt 4 km/h, und du planst insgesamt eine halbe Stunde Pause. Der Hinweg allein verbraucht 10 / 4 = 2,5 Stunden. Die Rückweggeschwindigkeit suchen wir nun aus dem gewünschten Gesamtdurchschnitt.
Wenn 4 km/h der Ziel-Durchschnitt einschließlich Pausen ist, stehen für die gesamten 20 km 20 / 4 = 5 Stunden zur Verfügung. Für den Rückweg bleiben 5 − 2,5 − 0,5 = 2 Stunden. Dafür ist eine Rückweggeschwindigkeit von 5 km/h erforderlich (10 / 2).
Wenn du den Ziel-Durchschnitt auf 5 km/h erhöhst, darf die Gesamtzeit nur noch 20 / 5 = 4 Stunden betragen. Für den Rückweg bleiben 4 − 2,5 − 0,5 = 1 Stunden, also wären 10 km/h nötig. Eine Erhöhung des Ziel-Durchschnitts um 25 % erfordert in dieser Situation die doppelte Rückweggeschwindigkeit.
| Ziel-Gesamtdurchschnitt, mit Pausen | Zulässige Gesamtzeit | Verbleibende Zeit für Rückweg | Erforderliche Rückweggeschwindigkeit |
|---|---|---|---|
| 4 km/h | 5 Stunden | 2 Stunden | 5 km/h |
| 5 km/h | 4 Stunden | 1 Stunde | 10 km/h |
Miss den Plan an der tatsächlich zumutbaren Fahrweise. Wenn du auf dem Rückweg mit höchstens 5 km/h rechnen kannst, wird der Gesamtdurchschnitt in diesem Beispiel höchstens 4 km/h sein. Für ein höheres Ziel musst du die Route, den Abfahrtsplan oder die verfügbare Zeit ändern.
Es gibt auch eine rein mathematische Grenze. Der Hinweg und die Pause beanspruchen bereits 3 Stunden; dazu kommt für jede positive Rückweglänge weitere Zeit. Der Gesamtdurchschnitt ist daher kleiner als 20 / 3 ≈ 6,6667 km/h, egal welche endliche Rückweggeschwindigkeit du eingibst. Diese Grenze zu erreichen, würde null Rückwegzeit erfordern.
Berechne allgemein zuerst den Quotienten aus Gesamtstrecke / Ziel-Durchschnitt. Ziehe die bekannte Fahrzeit und die Pausen ab. Nur aus einem positiven Rest lässt sich eine positive, endliche Rückweggeschwindigkeit berechnen. Im Rechner kannst du den so erhaltenen Wert im Streckenmodus zurückgeben, um den Durchschnitt zu überprüfen; ein eigenständiges Feld für die Zielgeschwindigkeitsplanung gibt es nicht.
Unterschiedliche Streckenlängen und mehrere Abschnitte
In dem theoretischen Beispiel legst du einen 200 km langen Abschnitt mit 50 km/h und einen 100 km langen Abschnitt mit 100 km/h zurück. Die Zeiten betragen 4 und 1 Stunden. Zu den gesamten 300 km gehören 5 Stunden, daher beträgt der Durchschnitt 60 km/h. Die für zwei Geschwindigkeiten und gleiche Distanz abgeleitete Kurzformel würde hier ein anderes Ergebnis liefern.
Arbeite bei mehreren Abschnitten auf dieselbe Weise: Berechne für jeden die Zeit, addiere die Strecken und die Zeiten und teile schließlich die beiden Summen. Der Einheitenumrechner hilft, wenn die Eingabestrecken oder -geschwindigkeiten in verschiedenen Einheiten vorliegen.
Das OpenStax-Kapitel zu den Bewegungsgleichungen liefert weitere Beispiele für den Zusammenhang Strecke = Geschwindigkeit × Zeit. Im DG-Hin- und Rückweg-Tool ist die einfache Distanz für beide Abschnitte gemeinsam, daher überprüfe das Beispiel mit 200 und 100 Kilometern separat durch Aufsummierung.
Bei Strömung beide Geschwindigkeiten relativ zum Ufer betrachten
In deinem idealen Bootsmodell beträgt die konstante Geschwindigkeit relativ zum Wasser 10 km/h, die gleichmäßige Strömung des Flusses 2 km/h. Das Boot fährt parallel zur Strömung zehn Kilometer flussabwärts und kehrt auf demselben Abschnitt zurück. Die Geschwindigkeit relativ zum Ufer beträgt flussabwärts 12 km/h, flussaufwärts 8 km/h. Die Addition wird im OpenStax-Kapitel zur relativen Bewegung hergeleitet.
Die gesamte Fahrzeit beträgt 10/12 + 10/8 ≈ 2,0833 Stunden. Der mit der nicht gerundeten Zeit berechnete Streckendurchschnitt beträgt 20 / (10/12 + 10/8) = 9,6 km/h. Die in einer Richtung erzielte Erhöhung um zwei km/h und die in der anderen Richtung erlittene gleich große Verringerung stellen den Durchschnitt von 10 km/h also nicht wieder her: Die langsamere Richtung dauert länger.
Allgemein gilt bei einer Geschwindigkeit v relativ zum Wasser und einer Strömung u für zwei gleiche Streckenlängen die Formel v_avg = (v² − u²)/v = v − u²/v, vorausgesetzt 0 ≤ u < v, und es gibt keine Pausen. Wenn u v erreicht, bewegt sich das Boot im Modell flussaufwärts nicht mehr; dann kann auch kein Hin- und Rückweg mit endlicher Zeit zusammengestellt werden. Das Beispiel ist eine Geschwindigkeits- und Zeitberechnung und dimensioniert weder die Leistung eines realen Bootes noch die Sicherheit einer Fahrt.
Strecke und Verschiebung: Null kann korrekt sein
Wenn du zum Ausgangspunkt zurückkehrst, ist deine Verschiebung null. Dein aus der gesamten Strecke berechneter Durchschnitt bleibt dennoch positiv. In der Physik gehört der Quotient Verschiebung/Zeit zum durchschnittlichen Geschwindigkeitsvektor; es lohnt sich, diesen vom Wert zurückgelegte Strecke/Zeit zu unterscheiden.
Der Rechner zeigt den Durchschnitt der tatsächlich zurückgelegten Strecke an. Zur Überprüfung sollte das Ergebnis ohne Pausen zwischen den beiden positiven Abschnittsgeschwindigkeiten liegen. Mit Pausen kann es sogar niedriger sein als die kleinere Bewegungsgeschwindigkeit. Mit diesen beiden schnellen Überprüfungen sind viele Einheiten- und Zeitverwaltungsfehler noch vor der Verwendung des Ergebnisses erkennbar.
Abschließender Wissenstest
Markiere pro Frage eine Antwort. Jede richtige Antwort gibt 1 Punkt; eine falsche, ausgelassene oder mit mehreren Antworten markierte Frage gibt 0 Punkt. Insgesamt sind 0–3 Punkte erreichbar. Lies die Lösungen nach der Beantwortung.
1. Du legst 120 km mit 60 km/h und dieselbe Strecke mit 40 km/h zurück, ohne Pausen. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Strecke?
- A) 48 km/h.
- B) 40 km/h.
- C) 50 km/h.
2. Du bist 10 km mit 4 km/h gewandert und hast dann eine halbe Stunde geruht. Welche Rückweggeschwindigkeit ist für den 20 km langen Weg nötig, um einen 5 km/h hohen Durchschnitt einschließlich Ruhezeit zu erreichen?
- A) 10 km/h.
- B) 5 km/h.
- C) 6 km/h.
3. Die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Wasser beträgt 10 km/h, die Strömung 2 km/h. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des 10–10 km langen Hin- und Rückwegs relativ zum Ufer, ohne Pausen?
- A) 9,6 km/h.
- B) 10 km/h.
- C) 12 km/h.
Lösungen und Punktevergabe
1. A. Die beiden Zeiten sind 2 und 3 Stunden. Die 240 km Gesamtdistanz gehören zu 5 Stunden, daher 240/5 = 48 km/h. Zur Wiederholung: Gleiche Distanz: Warum 48 bei 60 und 40 km/h?
2. A. Das Ziel erlaubt insgesamt 20/5 = 4 Stunden. Davon sind 2,5 Stunden Gehen und 0,5 Stunden Ruhe vergangen, daher bleiben für 10 km 1 Stunden. Zur Wiederholung: Ist der angestrebte Gesamtdurchschnitt überhaupt erreichbar?
3. A. Relativ zum Ufer betragen die beiden Geschwindigkeiten 12 und 8 km/h. Die Gesamtzeit beträgt 10/12 + 10/8 Stunden, daher beträgt der Durchschnitt des 20 km langen Weges 9,6 km/h. Zur Wiederholung: Bei Strömung beide Geschwindigkeiten relativ zum Ufer betrachten.
Jede richtige Antwort gibt 1 Punkt; eine falsche oder ausgelassene Antwort gibt 0 Punkt. Die Gesamtpunktzahl kann 0–3 betragen.
- 0 Punkte: Arbeite die in den drei Lösungen markierten Abschnitte erneut durch und notiere die Ausgangsbedingungen der Beispiele.
- 1 Punkt: Leite bei den zwei falsch beantworteten Fragen die richtige Antwort her; notiere separat, welche Bedingung oder welcher Rechenschritt fehlte.
- 2 Punkte: Kehre zum Abschnitt zurück, der mit der einzigen falsch beantworteten Frage verbunden ist, und überprüfe das Ergebnis erneut, indem du eine Eingabe änderst.
- 3 Punkte: Du hast die drei Zusammenhänge in dieser Aufgabenstellung korrekt angewendet. Teste eine der Überprüfungen aus dem Artikel mit eigenen Daten und notiere dabei die Bedingungen und Einheiten.
Aus dem ungarischen Artikel übersetzt und angepasst: Ungarischer Originalartikel.