Zmeral si päť časov spracovania: 2, 3, 3, 4 a 8 minút. Aritmetický priemer je 4 minúty, medián je 3 minúty. Rozdiel medzi týmito dvoma číslami sám o sebe neznamená chybu ani rozpor. Priemer zodpovedá rovnomernému rozdeleniu všetkých časov; medián ukazuje stred usporiadaných pozorovaní.
Ak tieto ukazovatele používaš pre časy vybavenia, dopravu alebo opakované merania, najprv si ujasni otázku. Plánuješ celkovú kapacitu, opisuješ typickú skúsenosť, alebo skúmaš variabilitu? Štatistická kalkulačka poskytuje viacero ukazovateľov naraz, aby tvoje rozhodnutie nebolo založené len na jednom čísle.
Priemer súvisí so súčtom
V príklade je celkový čas spracovania 2 + 3 + 3 + 4 + 8 = 20 minút. Je päť pozorovaní, preto je priemer 20 / 5 = 4 minúty. Ak by všetkých päť prípadov trvalo presne štyri minúty, celkový čas by bol stále dvadsať minút.
Priemer sa preto prirodzene viaže na plánovacie úlohy, kde sa množstvá sčítavajú. Pracovný čas piatich skutočných úloh získaš späť ako súčin priemeru a počtu úloh. Pre nové úlohy však musíš predpokladať, že predchádzajúce dáta primerane charakterizujú nasledujúce obdobie.
Priemery rôzne veľkých skupín váž podľa počtu prípadov. Priemer desiatich prípadov s 4 minútami a dvoch prípadov s 10 minútami je spolu (10 × 4 + 2 × 10) / 12 = 5 minút. Jednoduchý priemer dvoch skupinových priemerov by bol 7 minút, pretože by ignoroval rozdielny počet prvkov.
Pre medián najprv usporiadaj dáta
Stredný, tretí prvok z piatich usporiadaných hodnôt je 3. To je medián. Aspoň polovica pozorovaní je menšia alebo rovná tejto hodnote a aspoň polovica je väčšia alebo rovná tejto hodnote. Pri opakujúcich sa hodnotách môžu obe tvrdenia platiť aj tak, že viacero pozorovaní sa presne rovná mediánu.
Pri párnom počte prvkov je bežný numerický medián priemerom dvoch stredných hodnôt. V súbore dát 2, 3, 4, 8 je to (3 + 4) / 2 = 3,5. Medián teda môže byť aj hodnota, ktorú si ani raz nenameral.
Zhrnutie NIST o mierach polohy odlišuje úlohu priemeru, mediánu a ďalších stredných hodnôt. Medián je menej citlivý na veľkosť jedného už tak extrémneho pozorovania. To však samo o sebe nezobrazuje detaily celého rozdelenia.
Čo sa zmení, ak sa osemminútový prípad zmení na dvadsaťosemminútový?
Upravme príklad: 2, 3, 3, 4 a 28 minút. Súčet je 40, priemer je 8 minút. Medián zostáva 3. Zvýšenie jednej hodnoty o 20 minút zvýšilo priemer päťprvkového súboru o 20 / 5 = 4 minúty.
Dlhý prípad môže byť skutočnou, dôležitou udalosťou: zložitý prípad, výpadok alebo čakanie. Na jeho vymazanie je preto potrebný konkrétny dôvod. Preklep môžeš opraviť podľa zdroja; vynechať skutočné pozorovanie len preto, že zhoršuje priemer, by vytvorilo zavádzajúci obraz.
Užitočnou poznámkou môže byť, že priemer všetkých prípadov je 8 minút, medián je 3 minúty a jeden prípad trval 28 minút. Čitateľ tak vidí celkovú záťaž aj extrémne dlhé pozorovanie naraz. Ak identifikuješ samostatný prevádzkový stav, môžeš obe skupiny analyzovať osobitne s odôvodnením.
Výpočet smerodajnej odchýlky na piatich hodnotách
Priemer pôvodného súboru 2, 3, 3, 4, 8 je 4. Odchýlky od priemeru sú −2, −1, −1, 0 a 4. Ich štvorce sú 4, 1, 1, 0 a 16; ich súčet je 22. Populačná variancia všetkých piatich prvkov je 22 / 5 = 4,4 minút na druhú. Jej odmocnina je približne 2,098 minúty, čo je populačná smerodajná odchýlka.
Kvôli umocneniu na druhú sa znamienka odchýlok navzájom nevyrušia. Odmocnina vráti pôvodnú jednotku. Ak sú údaje merané v minútach, aj smerodajná odchýlka sa vyjadruje v minútach, zatiaľ čo variancia je v minútach na druhú.
Ak z piatich pozorovaní odhaduješ smerodajnú odchýlku širšieho procesu bežným výberovým vzorcom, menovateľ variancie je n − 1 = 4. Takže 22 / 4 = 5,5 a výberová smerodajná odchýlka je približne 2,345 minúty. Kapitola OpenStax o smerodajnej odchýlke predstavuje oba menovatele a rozdiel v ich použití.
Rovnaký priemer, rôzna variabilita
Porovnaj súbory dát 3, 4, 4, 4, 5 a 0, 1, 4, 7, 8. Oba majú priemer 4 a medián tiež 4. Populačná smerodajná odchýlka prvého je približne 0,632, druhého približne 3,162. Stredné hodnoty sa teda zhodujú, zatiaľ čo variabilita je podľa smerodajnej odchýlky päťkrát väčšia.
Ak chceš pri rezervácii termínov rovnomernú obsluhu, tento rozdiel môže byť dôležitý. Pri hodnotách blízko priemeru môže byť potrebná iná rezerva času ako pri extrémne variabilnom procese. Pre konkrétne rozhodnutie o plánovaní skúmaj aj poradie dát, kapacitu a príčiny dlhých prípadov.
Smerodajná odchýlka sama o sebe nerobí rozdelenie normálnym. Často citovaný podiel približne 68 % v rámci jednej smerodajnej odchýlky a približne 95 % v rámci dvoch smerodajných odchýlok patrí k normálnemu rozdeleniu. Na ľubovoľný súbor dát tieto podiely nemôžeš automaticky aplikovať; aj v malej vzorke z normálneho rozdelenia môže byť odchýlka.
Strata poradia nie je signalizovaná priemerom a smerodajnou odchýlkou
Uvažujme dve ilustračné série časov spracovania zaznamenané v časovom poradí: 1, 1, 1, 7, 7, 7 minút a 1, 7, 1, 7, 1, 7 minút. Obe obsahujú rovnaké hodnoty, preto je ich priemer 4 minúty, medián 4 minúty a populačná smerodajná odchýlka 3 minúty. Väčšina popisných ukazovateľov, ktoré ignorujú poradie, bude identická.
V prvej sérii nasledujú tri vyššie hodnoty po sebe od štvrtého prípadu. Z týchto šiestich dát ešte nevieme, ako dlho zostane vyššia úroveň. V druhej sérii sa každá nasledujúca hodnota striedala medzi dvoma úrovňami. Priemer absolútnych rozdielov po sebe idúcich hodnôt je v prvej sérii (0 + 0 + 6 + 0 + 0)/5 = 1,2 minúty, v druhej 6 minút. Tieto rozdiely sú vlastné manuálne doplnkové výpočty; odpovedajú na inú otázku než smerodajná odchýlka.
Ak hľadáš zmenu po úprave nastavenia, časové poradie prvej série je obzvlášť dôležité. Ak variabilitu môžu spôsobovať striedajúce sa typy prípadov, musíš si poznačiť skupiny v druhej sérii. Ani jedna vzorka sama o sebe nedokazuje príčinu. Preto si okrem usporiadaného zoznamu hodnôt zachovaj aj pôvodné časové pečiatky a okolnosti spojené s operáciou.
Priemer smerodajných odchýlok dvoch skupín nie je smerodajná odchýlka celého súboru dát
Predpokladajme, že si zaznamenal časy spracovania dvoch zmien osobitne. V prvej sú 3, 4 a 5 minút, v druhej 9, 10 a 11 minút. Obe skupiny majú tri prvky; ich priemery sú 4, resp. 10 minút.
Vzhľadom na vlastný skupinový priemer sú odchýlky v oboch sériách −1, 0 a 1. Súčet štvorcov je 2, menovateľ n − 1 je tiež 2, preto je výberová smerodajná odchýlka oboch skupín 1 minúta. Z toho však nevyplýva, že výberová smerodajná odchýlka všetkých šiestich pozorovaní je tiež jedna minúta.
Spoločný priemer je (3 + 4 + 5 + 9 + 10 + 11) / 6 = 7 minút. Vzhľadom naň sú odchýlky −4, −3, −2, 2, 3 a 4. Súčet ich štvorcov je 16 + 9 + 4 + 4 + 9 + 16 = 58. Spoločná výberová smerodajná odchýlka je:
s = √(58 / (6 − 1)) ≈ 3,406 minúty.
Ak počítaš iba popisnú, populačnú smerodajnú odchýlku týchto šiestich pozorovaní, menovateľ je 6, takže √(58 / 6) ≈ 3,109 minúty. Ani jedna z nich nie je priemerom 1-minútových skupinových smerodajných odchýlok.
Dôvodom väčšej spoločnej smerodajnej odchýlky je, že sa líšia aj stredné hodnoty zmien. Zo súčtu štvorcov 58 prispieva variabilita okolo vlastných skupinových priemerov hodnotou 2 + 2 = 4. Oba skupinové priemery sa od spoločného priemeru sedem minút líšia o tri minúty; to znamená ďalších 3 × 3² + 3 × 3² = 54. Súčet dvoch častí je 4 + 54 = 58.
V štatistickej kalkulačke najprv zadaj osobitne dve trojprvkové série, potom všetkých šesť dát spolu. Ak hľadáš príčinu rozdielu medzi zmenami, zachovaj aj označenie skupín. Spojené číslo opisuje variabilitu všetkých prípadov, ale zakrýva, že za ním stoja dve skupiny s rôznymi strednými hodnotami. Tento príklad ukazuje prítomnosť rozdielu; jeho príčinu sám o sebe neurčuje.
Keď zostali len triedne združené dáta
Predpokladajme, že si nezachoval jednotlivé časy, len skupiny: 4 prípady v rozmedzí 0–10 minút, 8 v rozmedzí 10–20 a 4 v rozmedzí 20–30. Triedne stredy sú 5, 15 a 25. Odhadovaný priemer pomocou stredných bodov je (4 × 5 + 8 × 15 + 4 × 25) / 16 = 15 minút.
Štatistická kalkulačka pre triedne združené dáta vykonáva takýto odhad. Pôvodné hodnoty nie je možné jednoznačne rekonštruovať z intervalov. Ak boli členovia skupiny 0–10 minút väčšinou blízko 9 minút, stredný bod 5 minút zníži ich príspevok.
V návode o priemere triedne združených dát (v maďarčine) môžeš preskúmať možné hranice priemeru pôvodných dát a tiež to, aké ďalšie údaje si máš zachovať pre presný priemer.
Otvorená koncová skupina, napríklad „nad 30 minút“, nemá známy stred. Bez vlastného, odôvodneného horného odhadu nevymýšľaj reprezentatívnu hodnotu. Zaznamenaj aj interpretáciu hraníc skupín, aby prípad presne 10 minút spadal len do jednej skupiny.
Chýbajúci údaj sa líši od nuly
Ak čas spracovania nie je zaznamenaný, zadanie nuly zníži priemer a vytvorí nový, nepravdivý pozorovací údaj. Chýbanie označ osobitne a uveď, z koľkých hodnôt si počítal. Chybná jednotka tiež skresľuje: záznam 120 sekúnd ako 120 minút posunie priemer a môže zmeniť aj smerodajnú odchýlku. Medzitým môže medián zostať nezmenený, ak sa hodnota zaznamenaná oboma spôsobmi nachádza na tej istej strane. Uspokojujúco vyzerajúca stredná hodnota preto nenahrádza kontrolu vstupných jednotiek.
Pri školských známkach sa rôzne váhy hodnotenia riešia v kalkulačke priemeru známok. Pre surové, rovnocenné merania patrí popisná štatistika. Ku každému výsledku si zachovaj počet prvkov, jednotku a rozsah zberu dát. Tak bude priemer 4 aj neskôr zrozumiteľný a pri porovnaní s novým súborom dát uvidíš, či si skutočne skúmal ten istý jav.
Záverečná skúška vedomostí
Pri každej otázke označ jednu odpoveď. Každá správna odpoveď je 1 bod; nesprávna, vynechaná alebo viacnásobne označená otázka je 0 bodov. Celkovo je možné získať 0–3 body. Riešenia si prečítaj až po odpovedaní.
1. V súbore dát 2, 3, 3, 4, 8 vymeníš 8 za 28. Aký bude priemer a medián?
- A) Priemer je 4, medián je 3.
- B) Priemer aj medián sú 8.
- C) Priemer je 8, medián je 3.
2. Výberová smerodajná odchýlka skupín 3, 4, 5 a 9, 10, 11 je osobitne 1. Aká je výberová smerodajná odchýlka spojených šiestich dát?
- A) Približne 3,406.
- B) Presne 1.
- C) Presne 2.
3. Časové rady 1, 1, 1, 7, 7, 7 a 1, 7, 1, 7, 1, 7 majú rovnaký priemer a smerodajnú odchýlku. Čo ich v príklade článku odlišuje?
- A) Priemer absolútnej zmeny susedných hodnôt: 1,2 a 6.
- B) Druhý súbor dát má iný aritmetický priemer.
- C) Spoločná smerodajná odchýlka dokazuje, že ich časové fungovanie je tiež identické.
Riešenia a bodovanie
1. C. Nový súčet je 40, takže priemer je 40/5 = 8. Stredný prvok piatich usporiadaných hodnôt zostáva 3. Opakovanie: Čo sa zmení, ak sa osemminútový prípad zmení na dvadsaťosemminútový?.
2. A. Celkový priemer je 7, súčet štvorcových odchýlok je 58. Výberová variancia je 58/(6−1) = 11,6, preto je výberová smerodajná odchýlka √11,6 ≈ 3,406. Opakovanie: Priemer smerodajných odchýlok dvoch skupín nie je smerodajná odchýlka celého súboru dát.
3. A. Popisný priemer a smerodajná odchýlka sa nezmenia preusporiadaním poradia. Súčet po sebe idúcich odchýlok je však 6, resp. 30, po vydelení piatimi krokmi dostaneme 1,2 a 6. Opakovanie: Strata poradia nie je signalizovaná priemerom a smerodajnou odchýlkou.
Každá správna odpoveď je 1 bod; nesprávna alebo vynechaná odpoveď je 0 bodov. Celkový počet bodov môže byť 0–3.
- 0 bodov: znova si prepracuj časti označené v troch riešeniach a zapíš počiatočné predpoklady príkladov.
- 1 bod: pri dvoch nesprávnych otázkach odvoď správnu odpoveď; osobitne pripíš, ktorý predpoklad alebo výpočtový krok chýbal.
- 2 body: vráť sa k časti priradenej k jedinej nesprávnej otázke, potom zmenou jedného vstupu znovu over výsledok.
- 3 body: v tejto úlohe si správne aplikoval tri súvislosti. Vyskúšaj jednu z kontrol článku s vlastnými dátami a zaznamenaj si predpoklady aj jednotky.
Preložené a upravené z maďarského článku: Maďarský originál článku.