Ha az eredeti mérési értékek helyett csak intervallumokat és darabszámokat kapsz, a pontos átlagot általában már nem lehet visszaállítani. Osztályközepekkel készíthetsz becslést, és a csoporthatárokból azt is megmutathatod, mennyire térhet el ettől az ismeretlen valódi átlag. Ez sokkal használhatóbb eredmény, mint egy indokolatlanul pontos tizedestört.
A gyakoriság adja a súlyt
Az osztályköz közepe az alsó és felső határ számtani átlaga. Ha a csoport közepe mᵢ, a hozzá tartozó darabszám fᵢ, akkor:
Becsült átlag = Σ(fᵢ × mᵢ) / Σfᵢ.
Az OpenStax csoportosított adatok átlagáról szóló fejezete ezt az osztályközepes becslést ismerteti. Az egyes csoportokat a gyakoriságuk súlyozza. A középértékek egyszerű átlagolása csak azonos gyakoriságok mellett adná ugyanazt az eredményt.
Szemléltető példa húsz feladat időtartamával
A példában három időtartam-csoportot ismerünk. Az intervallumok alsó határa beletartozik a csoportba, a felső határa a következő csoporthoz tartozik. Így egy pontosan 10 perces feladatot egyszer számolunk meg.
| Időtartam | Gyakoriság | Közép | Súlyozott összeg |
|---|---|---|---|
| 0–10 perc | 4 | 5 perc | 20 perc |
| 10–20 perc | 9 | 15 perc | 135 perc |
| 20–40 perc | 7 | 30 perc | 210 perc |
A gyakoriságok összege 4 + 9 + 7 = 20. A becsült időösszeg 20 + 135 + 210 = 365 perc. Ezt a darabszámmal osztva 365 / 20 = 18,25 perc az átlagbecslés.
A gyakorisági tábla elemzőjében a három alsó határt, felső határt és gyakoriságot add meg. A harmadik osztályköz kétszer olyan széles, mint az első kettő; ezt a 20 és 40 közötti határral pontosan rögzíteni kell. A középpontja ezért 30 perc.
A pontos átlaghoz mennyi információ hiányzik?
Ha minden megfigyelést saját csoportja alsó határára helyezünk, az összeg 4 × 0 + 9 × 10 + 7 × 20 = 230 perc. Ebből 11,5 perces alsó korlát adódik az átlagra.
A felső határokkal számolt összeg 4 × 10 + 9 × 20 + 7 × 40 = 500 perc. A hozzá tartozó átlag 25 perc. A választott, felső végén nyitott intervallumok miatt ez felső korlát: az értékek csak megközelíthetik.
A 18,25 perces becslés tehát a csoportosított adatok mellett lehetséges átlagok között van. Pontosságát a táblázat önmagában nem igazolja. Ha az utolsó csoport legtöbb adata 21 perc körül volt, a 30 perces középpont túl magas képviseletet ad ennek a csoportnak.
Mit mutat az interpolált medián?
A kumulált gyakoriság 4, majd 13, végül 20. A két középső megfigyelés, a 10. és a 11. is a 10–20 perces csoportban található. A pontos mediánt ebből még nem ismerjük.
Ha a csoporton belül egyenletes eloszlást feltételező interpolációt használunk, a becslés: 10 + ((20/2 − 4) / 9) × 10 = 16,67 perc. A 4 az előző csoportok darabszáma, a 9 a medián csoportjának gyakorisága, a 10-es szorzó pedig a csoport szélessége. Ez külön modellezési feltevés; az eredeti adatokból képzett medián eltérhet.
A táblázat előkészítése
A csoportok fedjék le az adatokat átfedés és kettős besorolás nélkül. Minden határ azonos mértékegységű legyen, a gyakoriság pedig nemnegatív egész darabszám. Nulla összgyakoriságnál átlag nem képezhető.
Nyitott végű, például „40 perc fölött” csoportnak nincs magától értetődő közepe. Kitalált felső határral látszólag pontos eredményt gyártanál. Ilyenkor kérd el a nyers adatot, vagy dokumentálj külön, indokolt becslési feltételezést. Az eredményt a használt osztályközökkel együtt add tovább, hogy a következő olvasó is lássa, milyen adatokból született.