A z-érték azt mutatja meg, hány szórással van egy adat az átlag felett vagy alatt. Pozitív érték az átlag fölé, negatív az átlag alá esik. Valószínűséget akkor kapcsolhatsz hozzá a normális eloszlás segítségével, ha ez az eloszlás megfelelő modell a vizsgált jelenségre. Az átskálázás önmagában még nem teszi normálissá az adatokat.
Mit kell elosztanod mivel?
A standardizálás képlete:
z = (x − μ) / σ.
Az x a vizsgált érték, μ az eloszlás várható értéke, σ a pozitív szórása. Az x, μ és σ azonos mértékegységű; z mértékegység nélküli. A MIT standardizálási feladata ezt az átalakítást vezeti le. A standard normális eloszlás várható értéke 0, szórása 1; az eloszlás függvényeit a NIST leírása mutatja be.
Szemléltető modellünkben egy ismételt művelet időtartama normális eloszlású, várható értéke 100 másodperc, szórása 18 másodperc. Ezek feltételezett adatok. A 127 másodperces művelet eltérése 27 másodperc, így z = 27 / 18 = 1,5. A 82 másodpercesé z = (82 − 100) / 18 = −1.
Az eredmény alapján a 127 másodperc másfél szórással az átlag felett van. Ez még nem 1,5%-os eltérés: az átlaghoz viszonyított százalékos növekedés itt 27%, más nevezővel számított mennyiség.
A z-értéktől a valószínűségig
Jelöljük Φ(z)-vel a standard normális eloszlásban a z alá eső területet. A példában Φ(1,5) ≈ 0,933193. A modell szerint egy művelet 93,32% valószínűséggel tart legfeljebb 127 másodpercig. A hosszabb idő valószínűsége 1 − 0,933193 ≈ 6,68%.
A 82 és 127 másodperc közé eséshez két alsó terület különbségét vesszük:
P(82 ≤ X ≤ 127) = Φ(1,5) − Φ(−1) ≈ 0,774538.
Ez 77,45%. A grafikus számológép eloszlásműhelyében válaszd a normális modellt, adj meg 100 várható értéket, 18 szórást, 82 alsó és 127 felső határt. Ugyanezt a területet kapod 0 várható értékkel, 1 szórással, −1 és 1,5 határokkal. A megjelenítésnél kerekíts, a két Φ-értéket a kivonás előtt tartsd több számjegyen.
Mit jelent egyetlen pontos érték?
Folytonos modellben pontosan 127 másodpercnek nulla a valószínűsége; a görbe alatti terület intervallumhoz tartozik. Egy egész másodpercre kerekített kijelzés viszont értéktartományt fed le. Ha a készülék szokásosan kerekít, a „127” kijelzés nagyjából 126,5 és 127,5 másodperc közötti időt jelent. Ennek már számítható pozitív valószínűsége van.
Ezért a „mekkora a valószínűsége ennek a mérésnek?” kérdésnél előbb tisztázd a pontosságot és a tartományt. A sűrűségfüggvény adott pontbeli magassága sem azonos a valószínűséggel.
Mikor maradj a leíró adatoknál?
A statisztikai kalkulátorral ellenőrizheted a tényleges adatsor átlagát és szórását. A mintából számolt átlag és mintaszórás becslés; behelyettesítésükkel a modell szerinti százalékok is becslések lesznek.
Erősen ferde adatsornál, több külön csoport keverékénél vagy sok szélső értéknél ellenőrizd az eloszlás alakját, mielőtt normális valószínűséget közölsz. Az időtartam például nem lehet negatív, miközben a normális modellnek nincs alsó határa. A modell csak olyan tartományban lehet hasznos közelítés, ahol ez nem torzítja érdemben a kérdésedet. Nulla szórásnál a z-képlet nem értelmezhető: az összes érték azonosságát kezeld külön esetként.