Du hast fünf Verarbeitungszeiten gemessen: 2, 3, 3, 4 und 8 Minuten. Der arithmetische Mittelwert beträgt 4 Minuten, der Median 3 Minuten. Die Abweichung zwischen diesen beiden Zahlen bedeutet für sich genommen weder einen Fehler noch einen Widerspruch. Der Mittelwert entspricht der gleichmäßigen Verteilung aller Zeiten; der Median zeigt die Mitte der sortierten Beobachtungen an.
Wenn du diese Kennzahlen für Bearbeitungszeiten, Lieferungen oder wiederholte Messungen verwendest, formuliere zunächst die Frage. Planst du die Gesamtkapazität, beschreibst du eine typische Erfahrung oder untersuchst du die Schwankung? Der statistische Rechner liefert mehrere Kennzahlen gleichzeitig, damit die Auswahl nicht auf einer einzigen Zahl basiert.
Der Mittelwert ist an die Summe gebunden
Im Beispiel beträgt die gesamte Verarbeitungszeit 2 + 3 + 3 + 4 + 8 = 20 Minuten. Es gibt fünf Beobachtungen, daher beträgt der Mittelwert 20 / 5 = 4 Minuten. Hätten alle fünf Fälle genau vier Minuten gedauert, wäre die Gesamtzeit ebenfalls zwanzig Minuten gewesen.
Der Mittelwert eignet sich daher natürlich für Planungsaufgaben, bei denen sich Mengen addieren. Die Arbeitszeit der fünf tatsächlichen Aufgaben erhältst du aus dem Produkt von Mittelwert und Anzahl. Für neue Aufgaben musst du jedoch davon ausgehen, dass die früheren Daten den nächsten Zeitraum angemessen charakterisieren.
Gewichte die Mittelwerte unterschiedlich großer Gruppen mit der Anzahl der Fälle. Der gemeinsame Mittelwert von zehn Fällen mit 4 Minuten und zwei Fällen mit 10 Minuten beträgt (10 × 4 + 2 × 10) / 12 = 5 Minuten. Der einfache Durchschnitt der beiden Gruppenmittelwerte wäre 7 Minuten, da er die unterschiedliche Fallzahl ignorieren würde.
Für den Median sortiere zuerst die Daten
Das mittlere, dritte Element der fünf sortierten Daten ist 3. Dies ist der Median. Mindestens die Hälfte der Beobachtungen ist höchstens so groß, und mindestens die Hälfte ist mindestens so groß. Bei wiederholten Werten können beide Aussagen auch dann erfüllt sein, wenn mehrere Beobachtungen exakt dem Median entsprechen.
Bei einer geraden Anzahl von Fällen ist der übliche numerische Median der Durchschnitt der beiden mittleren Daten. In der Datenreihe 2, 3, 4, 8 ist dies (3 + 4) / 2 = 3,5. Der Median kann also auch ein Wert sein, der bei keiner einzelnen Messung aufgetreten ist.
Die Zusammenfassung der NIST zu Lagemaßen unterscheidet die Rolle von Mittelwert, Median und weiteren Zentralwerten. Der Median ist weniger empfindlich gegenüber der Größe einer bereits extremen Beobachtung. Dennoch zeigt er allein nicht die Details der gesamten Verteilung.
Was ändert sich, wenn aus dem achtminütigen Fall ein achtundzwanzigminütiger wird?
Ändern wir das Beispiel: 2, 3, 3, 4 und 28 Minuten. Die Summe ist 40, der Mittelwert 8 Minuten. Der Median bleibt 3. Die Erhöhung eines einzelnen Datenpunkts um 20 Minuten erhöhte den Mittelwert der fünf Werte um 20 / 5 = 4 Minuten.
Der lange Fall kann ein echtes, wichtiges Ereignis sein: ein komplexer Vorgang, ein Ausfall oder eine Wartezeit. Für seine Löschung ist daher ein konkreter Grund erforderlich. Tippfehler kannst du anhand der Quelle korrigieren; eine echte Beobachtung wegzulassen, nur weil sie den Mittelwert verschlechtert, würde ein irreführendes Bild ergeben.
Es kann hilfreich sein, festzuhalten, dass der Mittelwert aller Fälle 8 Minuten beträgt, der Median 3 Minuten und einer der Fälle 28 Minuten dauerte. So sieht der Leser gleichzeitig die aggregierte Belastung und die extrem lange Beobachtung. Wenn du einen separaten Betriebszustand identifizierst, kannst du die beiden Gruppen mit Begründung auch getrennt analysieren.
Berechnung der Standardabweichung bei fünf Daten
Der Mittelwert der ursprünglichen Reihe 2, 3, 3, 4, 8 ist 4. Die Abweichungen vom Mittelwert sind −2, −1, −1, 0 und 4. Ihre Quadrate sind 4, 1, 1, 0 und 16; die Summe ist 22. Die deskriptive Varianz aller fünf Elemente beträgt 22 / 5 = 4,4 Minuten². Die Quadratwurzel davon ist ungefähr 2,098 Minuten, die Populationsstandardabweichung.
Aufgrund der Quadrierung heben sich die Vorzeichen der Abweichungen nicht gegenseitig auf. Die Quadratwurzel bringt die ursprüngliche Einheit zurück. Die Standardabweichung gehört daher zu in Minuten gemessenen Daten in Minuten, die Varianz in Minuten².
Wenn du aus den fünf Beobachtungen die Standardabweichung eines breiteren Prozesses mit der üblichen Stichprobenformel schätzt, ist der Nenner der Varianz n − 1 = 4. So ergibt sich 22 / 4 = 5,5, die Stichprobenstandardabweichung beträgt ungefähr 2,345 Minuten. Das OpenStax-Kapitel zur Standardabweichung stellt beide Nenner und den Unterschied in ihrer Anwendung vor.
Derselbe Mittelwert, unterschiedliche Schwankung
Vergleiche die Datensätze 3, 4, 4, 4, 5 und 0, 1, 4, 7, 8. Beide haben einen Mittelwert von 4 und einen Median von 4. Die Populationsstandardabweichung der ersten beträgt ungefähr 0,632, die der zweiten ungefähr 3,162. Die Zentralwerte stimmen also überein, während die Schwankung basierend auf der Standardabweichung fünfmal so hoch ist.
Wenn du für Terminbuchungen eine gleichmäßige Bedienung möchtest, kann diese Abweichung wichtig sein. Bei Daten nahe am Mittelwert kann ein anderer Puffer erforderlich sein als bei einem extrem schwankenden Prozess. Für die konkrete Zeitplanungsentscheidung untersuche auch die Reihenfolge der Daten, die Kapazität und die Ursachen der langen Fälle.
Die Standardabweichung allein macht die Verteilung nicht normal. Die oft zitierten Anteile von ungefähr 68% innerhalb einer Standardabweichung und ungefähr 95% innerhalb von zwei Standardabweichungen gehören zur Normalverteilung. Auf beliebige Datensätze kannst du diese Anteile nicht automatisch anwenden; selbst in einer kleinen Stichprobe aus einer Normalverteilung kann es Abweichungen geben.
Der Verlust der Reihenfolge wird durch Mittelwert und Standardabweichung nicht angezeigt
Zwei eigene, zeitlich aufgezeichnete Verarbeitungsreihen seien 1, 1, 1, 7, 7, 7 Minuten bzw. 1, 7, 1, 7, 1, 7 Minuten. Beide enthalten dieselben Werte, daher beträgt ihr Mittelwert 4 Minuten, ihr Median 4 Minuten und ihre Populationsstandardabweichung 3 Minuten. Die meisten deskriptiven Kennzahlen, die die Reihenfolge ignorieren, sind identisch.
In der ersten Reihe folgen auf den vierten Fall drei höhere Werte nacheinander. Aus diesen sechs Daten können wir noch nicht ableiten, wie lange das höhere Niveau anhält. In der zweiten Reihe wechselte jeder folgende Wert zwischen den beiden Niveaus. Der Durchschnitt der absoluten Differenzen aufeinanderfolgender Werte beträgt in der ersten Reihe (0 + 0 + 6 + 0 + 0)/5 = 1,2 Minuten, in der zweiten 6 Minuten. Diese Differenzen sind eigene manuelle Zusatzberechnungen; sie beantworten eine andere Frage als die Standardabweichung.
Wenn du nach einer Änderung einer Einstellung nach einem Wandel suchst, ist die zeitliche Reihenfolge der ersten Reihe besonders wichtig. Wenn schwankende Falltypen die Schwankung verursachen könnten, musst du die Gruppenkennzeichnungen der zweiten Reihe überprüfen. Kein Muster beweist allein die Ursache. Bewahre daher neben der sortierten Werteliste auch den ursprünglichen Zeitstempel und die Umstände des Vorgangs auf.
Die Standardabweichung zweier Gruppen ist nicht die Standardabweichung des gesamten Datensatzes
Nehmen wir an, du hast die Verarbeitungszeiten zweier Schichten getrennt aufgezeichnet. In der ersten stehen 3, 4 und 5 Minuten, in der zweiten 9, 10 und 11 Minuten. Beide Gruppen haben drei Elemente; ihre Mittelwerte sind 4 bzw. 10 Minuten.
Im Vergleich zu ihren jeweiligen Gruppenmittelwerten betragen die Abweichungen beider Reihen −1, 0 und 1. Die Quadratsumme ist 2, der Nenner n − 1 ist ebenfalls 2, daher beträgt die Stichprobenstandardabweichung beider Gruppen 1 Minute. Daraus folgt jedoch nicht, dass die Stichprobenstandardabweichung aller sechs Beobachtungen ebenfalls eine Minute beträgt.
Der zusammengefasste Mittelwert ist (3 + 4 + 5 + 9 + 10 + 11) / 6 = 7 Minuten. Im Vergleich dazu betragen die Abweichungen −4, −3, −2, 2, 3 und 4. Die Summe ihrer Quadrate ist 16 + 9 + 4 + 4 + 9 + 16 = 58. Die zusammengefasste Stichprobenstandardabweichung ist:
s = √(58 / (6 − 1)) ≈ 3,406 Minuten.
Wenn du ausschließlich die deskriptive Populationsstandardabweichung dieser sechs Beobachtungen berechnest, ist der Nenner 6, somit √(58 / 6) ≈ 3,109 Minuten. Keiner von beiden ist der Durchschnitt der 1 Minute betragenden Gruppenstandardabweichungen.
Der Grund für die höhere zusammengefasste Standardabweichung ist, dass sich auch die Zentralwerte der Schichten unterscheiden. Aus der Quadratsumme von 58 ergibt die Schwankung um die eigenen Gruppenmittelwerte 2 + 2 = 4. Die beiden Gruppenmittelwerte liegen jeweils drei Minuten vom gemeinsamen Mittelwert entfernt; dies bedeutet weitere 3 × 3² + 3 × 3² = 54. Die beiden Teile ergeben 4 + 54 = 58.
Gib im statistischen Rechner zunächst die beiden dreielementigen Reihen getrennt ein, dann alle sechs Daten gemeinsam. Wenn du die Ursache der Unterschiede zwischen den Schichten suchst, bewahre die Gruppenkennzeichnung bei. Die zusammengefasste Zahl beschreibt die Schwankung aller Fälle, verdeckt aber, dass dahinter zwei Gruppen mit unterschiedlichen Zentralwerten stehen. Dieses Beispiel zeigt das Vorhandensein der Abweichung; die Ursache bestimmt es allein nicht.
Wenn nur klassierte Daten übrig sind
Nehmen wir an, du hast die individuellen Zeiten nicht aufbewahrt, sondern nur die Gruppen: 0–10 Minuten 4 Fälle, 10–20 8 Fälle, 20–30 4 Fälle. Die Klassenmitten sind 5, 15 und 25. Der mit den Mittelpunkten geschätzte Mittelwert ist (4 × 5 + 8 × 15 + 4 × 25) / 16 = 15 Minuten.
Der Rechner für klassierte Statistik erstellt eine solche Schätzung. Die ursprünglichen Werte können aus den Intervallen nicht eindeutig rekonstruiert werden. Wenn die Mitglieder der 0–10-Gruppe meist nahe bei 9 Minuten lagen, verschiebt der 5 Minuten betragende Mittelpunkt ihren Beitrag nach unten.
Im Leitfaden zum klassierten Mittelwert (auf Ungarisch) kannst du auch die möglichen Grenzen des Mittelwerts der ursprünglichen Daten untersuchen sowie welche zusätzlichen Daten du für den genauen Mittelwert bewahren solltest.
Die offene Endklasse, z. B. „über 30 Minuten“, hat keinen bekannten Mittelpunkt. Erfinde keinen repräsentativen Wert ohne eine eigene, begründete Obergrenze. Dokumentiere auch die Interpretation der Klassengrenzen, damit der genau 10 Minuten dauernde Fall nur in eine Gruppe fällt.
Fehlende Daten unterscheiden sich von Null
Wenn eine Verarbeitungszeit nicht aufgezeichnet ist, zieht die Eingabe von Null den Mittelwert nach unten und erzeugt eine neue, unzutreffende Beobachtung. Kennzeichne die Lücke separat und notiere, aus wie vielen Werten du gerechnet hast. Auch eine falsche Einheit verzerrt: 120 Sekunden als 120 Minuten einzugeben, verschiebt den Mittelwert und kann die Standardabweichung verändern. Der Median kann dabei unverändert bleiben, wenn der auf zwei Arten aufgezeichnete Wert auf derselben Seite liegt. Ein beruhigend wirkender Zentralwert ersetzt daher nicht die Überprüfung der Eingabeeinheiten.
Bei Schulnoten behandelt der Notendurchschnittsrechner unterschiedliche Bewertungsgewichte. Für rohe, gleichrangige Messungen eignet sich die deskriptive Statistik. Bewahre zu jedem Ergebnis die Fallzahl, die Einheit und den Umfang der Datenerhebung bei. So bleibt der 4 betragende Mittelwert später interpretierbar, und beim Vergleich mit einem neuen Datensatz siehst du, ob du wirklich dasselbe Phänomen untersucht hast.
Abschließender Wissenstest
Markiere pro Frage eine Antwort. Jede richtige Antwort gibt 1 Punkt; eine falsche, ausgelassene oder mit mehreren Antworten markierte Frage gibt 0 Punkte. Insgesamt können 0–3 Punkte erreicht werden. Lies die Lösungen nach dem Beantworten.
1. In der Datenreihe 2, 3, 3, 4, 8 ersetzt du 8 durch 28. Was sind Mittelwert und Median?
- A) Der Mittelwert ist 4, der Median 3.
- B) Mittelwert und Median sind beide 8.
- C) Der Mittelwert ist 8, der Median 3.
2. Die Stichprobenstandardabweichung der Gruppen 3, 4, 5 und 9, 10, 11 beträgt jeweils 1. Wie hoch ist die Stichprobenstandardabweichung der vereinigten sechs Daten?
- A) Ungefähr 3,406.
- B) Genau 1.
- C) Genau 2.
3. Die Zeitreihen 1, 1, 1, 7, 7, 7 und 1, 7, 1, 7, 1, 7 haben denselben Mittelwert und dieselbe Standardabweichung. Was unterscheidet sie im Beispiel des Artikels?
- A) Der Durchschnitt der absoluten Änderung benachbarter Werte: 1,2 und 6.
- B) Der zweite Datensatz hat einen anderen arithmetischen Mittelwert.
- C) Die gemeinsame Standardabweichung beweist, dass ihr zeitliches Verhalten identisch ist.
Lösungen und Bewertung
1. C. Die neue Summe ist 40, somit ist der Mittelwert 40/5 = 8. Das mittlere Element der fünf sortierten Daten ist weiterhin 3. Zur Wiederholung: Was ändert sich, wenn aus dem achtminütigen Fall ein achtundzwanzigminütiger wird?.
2. A. Der Gesamt-Mittelwert ist 7, die Summe der quadratischen Abweichungen ist 58. Die Stichprobenvarianz ist 58/(6−1) = 11,6, daher ist die Stichprobenstandardabweichung √11,6 ≈ 3,406. Zur Wiederholung: Die Standardabweichung zweier Gruppen ist nicht die Standardabweichung des gesamten Datensatzes.
3. A. Der deskriptive Mittelwert und die Standardabweichung ändern sich nicht durch die Umordnung der Reihenfolge. Die Summe der aufeinanderfolgenden Abweichungen beträgt jedoch 6 bzw. 30, geteilt durch fünf Schritte 1,2 und 6. Zur Wiederholung: Der Verlust der Reihenfolge wird durch Mittelwert und Standardabweichung nicht angezeigt.
Jede richtige Antwort gibt 1 Punkt; eine falsche oder ausgelassene Antwort gibt 0 Punkte. Die Gesamtpunktzahl kann 0–3 sein.
- 0 Punkte: Arbeite die in den drei Lösungen markierten Abschnitte erneut durch und notiere die Ausgangsbedingungen der Beispiele.
- 1 Punkt: Leite bei den zwei falsch beantworteten Fragen die richtige Antwort her; notiere separat, welche Bedingung oder welcher Rechenschritt fehlte.
- 2 Punkte: Kehre zum Abschnitt zurück, der mit der einzigen falsch beantworteten Frage verbunden ist, und überprüfe das Ergebnis erneut, indem du eine Eingabe änderst.
- 3 Punkte: Du hast die drei Zusammenhänge in dieser Aufgabe korrekt angewendet. Teste eine der Überprüfungen des Artikels mit eigenen Daten und notiere dabei die Bedingungen und Einheiten.
Aus dem ungarischen Artikel übersetzt und angepasst: Ungarischer Originalartikel.