Ai măsurat cinci timpi de procesare: 2, 3, 3, 4 și 8 minute. Media aritmetică este 4 minute, iar mediana este 3 minute. Diferența dintre cele două numere nu indică, prin ea însăși, nici o eroare, nici o contradicție. Media corespunde împărțirii egale a tuturor timpurilor; mediana indică mijlocul observațiilor ordonate.
Dacă folosești acești indicatori pentru timpii de procesare, livrări sau măsurători repetate, formulează mai întâi întrebarea. Planifici capacitatea totală, descrii o experiență tipică sau examinezi variația? Calculatorul statistic oferă mai mulți indicatori împreună, astfel încât alegerea să nu se bazeze pe un singur număr.
Media este legată de sumă
În exemplu, timpul total de procesare este 2 + 3 + 3 + 4 + 8 = 20 minute. Există cinci observații, de aceea media este 20 / 5 = 4 minute. Dacă toate cele cinci cazuri ar fi durat exact patru minute, timpul total ar fi fost tot douăzeci de minute.
De aceea, media este legată în mod natural de sarcinile de planificare unde cantitățile se adună. Obții timpul de lucru al celor cinci sarcini reale din produsul dintre medie și numărul de cazuri. Pentru sarcini noi, totuși, trebuie să presupui că datele anterioare caracterizează adecvat perioada următoare.
Ponderează mediile grupurilor de dimensiuni diferite cu numărul de cazuri. Media pentru zece cazuri de 4 minute și două cazuri de 10 minute este (10 × 4 + 2 × 10) / 12 = 5 minute. Media simplă a celor două medii de grup ar fi 7 minute, deoarece ar ignora numărul diferit de elemente.
Pentru mediană, ordonează mai întâi datele
Al treilea element, cel din mijloc, al celor cinci date ordonate este 3. Aceasta este mediana. Cel puțin jumătate dintre observații sunt cel mult de această valoare, iar cel puțin jumătate sunt cel puțin de această valoare. În cazul valorilor repetitive, ambele afirmații pot fi adevărate chiar dacă mai multe observații sunt exact egale cu mediana.
La un număr par de elemente, mediana numerică uzuală este media celor două valori din mijloc. În setul de date 2, 3, 4, 8, aceasta este (3 + 4) / 2 = 3,5. Mediana poate fi, așadar, o valoare pe care nu ai măsurat-o niciodată.
Rezumatul NIST privind statisticile de poziție distinge rolul mediei, medianei și al altor valori centrale. Mediana este mai puțin sensibilă la magnitudinea unei observații deja extreme. Totuși, ea nu prezintă singură detaliile întregii distribuții.
Ce se schimbă dacă cazul de opt minute devine unul de douăzeci și opt de minute?
Modificăm exemplul: 2, 3, 3, 4 și 28 minute. Suma este 40, iar media este 8 minute. Mediana rămâne 3. Creșterea cu 20 minute a unui singur datum a ridicat media seriei de cinci elemente cu 20 / 5 = 4 minute.
Cazul lung poate fi un eveniment real, important: un caz complex, o întrerupere sau o așteptare. De aceea, eliminarea lui necesită un motiv concret. Poți corecta o greșeală de tastare pe baza sursei; omiterea unei observații reale doar pentru că strică media ar oferi o imagine înșelătoare.
Poate fi util să notezi că media tuturor cazurilor este 8 minute, mediana este 3 minute, iar un caz a durat 28 minute. Astfel, cititorul vede simultan sarcina totală și observația extrem de lungă. Dacă identifici o stare operațională distinctă, poți analiza separat cele două grupuri, cu justificare.
Calcularea abaterii standard pe cinci date
Media seriei originale 2, 3, 3, 4, 8 este 4. Abaterile de la medie sunt −2, −1, −1, 0 și 4. Pătratele lor sunt 4, 1, 1, 0 și 16; suma este 22. Varianța descriptivă a celor cinci elemente este 22 / 5 = 4,4 minute pătrate. Rădăcina pătrată a acesteia este aproximativ 2,098 minute, adică abaterea standard a populației.
Din cauza ridicării la pătrat, semnele abaterilor nu se anulează reciproc. Rădăcina pătrată readuce unitatea de măsură originală. De aceea, abaterea standard pentru datele măsurate în minute este exprimată în minute, iar varianța în minute pătrate.
Dacă estimezi abaterea standard a unui proces mai larg din cele cinci observații folosind formula uzuală pentru eșantion, numitorul varianței este n − 1 = 4. Astfel, 22 / 4 = 5,5, iar abaterea standard a eșantionului este aproximativ 2,345 minute. Capitolul OpenStax care discută abaterea standard prezintă ambele numitori și diferența dintre utilizările lor.
Aceeași medie, variație diferită
Compară setul de date 3, 4, 4, 4, 5 cu setul 0, 1, 4, 7, 8. Ambele au media 4, iar mediana este tot 4. Abaterea standard a populației pentru primul este aproximativ 0,632, iar pentru al doilea este aproximativ 3,162. Valorile centrale coincid, în timp ce variația este de cinci ori mai mare conform abaterii standard.
Dacă dorești o servire uniformă pentru programări, această diferență poate fi importantă. Pentru date apropiate de medie, poate fi necesar un timp de rezervă diferit față de un proces cu variații extreme. Pentru decizia concretă de programare, examinează ordinea datelor, capacitatea și cauzele cazurilor lungi.
Abaterea standard, prin ea însăși, nu face distribuția normală. Proporțiile citate frecvent, de aproximativ 68% în interiorul unei abateri standard și de aproximativ 95% în interiorul a două abateri standard, se referă la distribuția normală. Nu poți aplica automat aceste proporții pentru orice set de date; chiar și într-un eșantion mic dintr-o distribuție normală pot exista deviații.
Pierderea ordinii nu este indicată de medie și abatere standard
Fie două serii de procesare proprii, înregistrate cronologic: 1, 1, 1, 7, 7, 7 minute și 1, 7, 1, 7, 1, 7 minute. Ambele conțin aceleași valori, de aceea media lor este 4 minute, mediana este 4 minute, iar abaterea standard a populației este 3 minute. Majoritatea indicatorilor descriptivi care ignoră ordinea vor fi identici.
În prima serie, după al patrulea caz, urmează trei valori mai mari consecutiv. Din aceste șase date nu putem ști cât timp va persista nivelul mai ridicat. În a doua serie, fiecare valoare ulterioară alternează între cele două niveluri. Media diferențelor absolute dintre valorile consecutive este, în prima serie, (0 + 0 + 6 + 0 + 0)/5 = 1,2 minute, iar în a doua 6 minute. Aceste diferențe sunt calcule auxiliare manuale proprii; răspund la o altă întrebare decât abaterea standard.
Dacă cauți o schimbare după modificarea unei setări, ordinea cronologică a primei serii este deosebit de importantă. Dacă variația poate fi cauzată de tipuri de cazuri care alternează, trebuie să verifici etichetele de grup ale celei de-a doua serii. Niciun eșantion nu dovedește singur cauza. De aceea, păstrează marcajele temporale originale și circumstanțele operaționale alături de lista valorilor ordonate.
Media abaterilor standard a două grupuri nu este abaterea standard a întregului set de date
Să presupunem că ai înregistrat separat timpii de procesare pentru două ture. În prima sunt 3, 4 și 5 minute, iar în a doua 9, 10 și 11 minute. Ambele grupuri au trei elemente; mediile lor sunt 4, respectiv 10 minute.
Față de media proprie a grupului, abaterile ambelor serii sunt −1, 0 și 1. Suma pătratelor este 2, iar numitorul n − 1 este tot 2, de aceea abaterea standard a eșantionului pentru ambele grupuri este 1 minute. Totuși, din aceasta nu rezultă că abaterea standard a eșantionului pentru toate cele șase observații este de un minut.
Media combinată este (3 + 4 + 5 + 9 + 10 + 11) / 6 = 7 minute. Față de aceasta, abaterile sunt −4, −3, −2, 2, 3 și 4. Suma pătratelor lor este 16 + 9 + 4 + 4 + 9 + 16 = 58. Abaterea standard a eșantionului combinat este:
s = √(58 / (6 − 1)) ≈ 3,406 minute.
Dacă calculezi doar abaterea standard descriptivă, a populației, pentru aceste șase observații, numitorul este 6, deci √(58 / 6) ≈ 3,109 minute. Niciuna dintre ele nu este media abaterilor standard de grup de 1 minute.
Motivul pentru care abaterea standard combinată este mai mare este că și valorile centrale ale turilor diferă. Din suma pătratelor 58, variația în jurul mediilor proprii ale grupurilor oferă 2 + 2 = 4. Cele două medii de grup sunt la trei minute distanță de media comună de șapte; aceasta înseamnă încă 3 × 3² + 3 × 3² = 54. Cele două părți sunt 4 + 54 = 58.
În calculatorul statistic, introdu mai întâi separat cele două serii de câte trei elemente, apoi toate cele șase date împreună. Dacă cauți cauza diferenței dintre ture, păstrează și eticheta de grup. Numărul combinat descrie variația tuturor cazurilor, dar ascunde faptul că în spatele lui se află două grupuri cu medii diferite. Acest exemplu arată prezența diferenței; cauza nu este stabilită singură.
Când au rămas doar date cu intervale de clasă
Să presupunem că nu ai păstrat timpii individuali, ci doar grupurile: 4 cazuri între 0–10 minute, 8 între 10–20 și 4 între 20–30. Mijloacele claselor sunt 5, 15 și 25. Media estimată cu punctele de mijloc este (4 × 5 + 8 × 15 + 4 × 25) / 16 = 15 minute.
Calculatorul statistic pentru date cu intervale de clasă realizează o astfel de estimare. Valorile originale nu pot fi restabilite univoc din intervale. Dacă membrii grupului 0–10 au fost în mare parte în jurul a 9 minute, punctul de mijloc de 5 minute le modifică contribuția în jos.
În ghidul privind media pentru date cu intervale de clasă (în maghiară) poți examina limitele posibile ale mediei datelor originale, precum și ce date suplimentare merită păstrate pentru o medie exactă.
Grupul cu capăt deschis, de exemplu „peste 30 minute”, nu are un mijloc cunoscut. Nu inventa o valoare reprezentativă fără o limită superioară justificată. Documentează și interpretarea limitelor grupului, astfel încât cazul de exact 10 minute să fie inclus într-un singur grup.
Datele lipsă diferă de zero
Dacă un timp de procesare nu este înregistrat, introducerea lui zero trage media în jos și creează o observație nouă, falsă. Marchează lipsa separat și notează din câte valori ai calculat. O unitate de măsură greșită distorsionează și ea: înregistrarea a 120 secunde ca 120 minute deplasează media și poate schimba abaterea standard. Mediana poate rămâne neschimbată dacă valoarea înregistrată în cele două moduri se află de aceeași parte. O valoare centrală care pare liniștitoare nu înlocuiește, așadar, verificarea unităților de intrare.
Pentru note școlare, ponderile de evaluare diferite sunt gestionate de calculatorul de medie a notelor. Pentru măsurători brute, de rang egal, se potrivește modul statistic descriptiv. Păstrează numărul de elemente, unitatea de măsură și sfera colectării datelor pentru fiecare rezultat. Astfel, media de 4 rămâne interpretabilă și ulterior, iar la compararea cu un nou set de date vei vedea dacă ai examinat cu adevărat același fenomen.
Test final de cunoștințe
Selectează un răspuns pentru fiecare întrebare. Fiecare răspuns corect valorează 1 punct; întrebarea cu răspuns greșit, omis sau marcat cu mai multe opțiuni valorează 0 puncte. În total se pot obține 0–3 puncte. Citește soluțiile după ce ai răspuns.
1. În setul de date 2, 3, 3, 4, 8 înlocuiești 8 cu 28. Care vor fi media și mediana?
- A) Media este 4, mediana este 3.
- B) Atât media, cât și mediana sunt 8.
- C) Media este 8, mediana este 3.
2. Abaterea standard a eșantionului pentru grupurile 3, 4, 5 și 9, 10, 11 este separat 1. Care este abaterea standard a eșantionului pentru cele șase date unite?
- A) Aproximativ 3,406.
- B) Exact 1.
- C) Exact 2.
3. Seria temporală 1, 1, 1, 7, 7, 7 și seria 1, 7, 1, 7, 1, 7 au aceeași medie și abatere standard. Ce le diferențiază în exemplul articolului?
- A) Media variației absolute a valorilor adiacente: 1,2 și 6.
- B) Al doilea set de date are o medie aritmetică diferită.
- C) Abaterea standard comună dovedește că funcționarea lor temporală este identică.
Soluții și punctaj
1. C. Noua sumă este 40, deci media este 40/5 = 8. Elementul din mijloc al celor cinci date ordonate rămâne 3. Pentru recapitulare: Ce se schimbă dacă cazul de opt minute devine unul de douăzeci și opt de minute?.
2. A. Media totală este 7, iar suma abaterilor pătratice este 58. Varianța eșantionului este 58/(6−1) = 11,6, de aceea abaterea standard a eșantionului este √11,6 ≈ 3,406. Pentru recapitulare: Media abaterilor standard a două grupuri nu este abaterea standard a întregului set de date.
3. A. Media și abaterea standard descriptivă nu se schimbă prin rearanjarea ordinii. Suma diferențelor consecutive este însă 6, respectiv 30, împărțite la cinci pași rezultând 1,2 și 6. Pentru recapitulare: Pierderea ordinii nu este indicată de medie și abatere standard.
Fiecare răspuns corect valorează 1 punct; răspunsul greșit sau omis valorează 0 puncte. Scorul total poate fi 0–3.
- 0 puncte: parcurge din nou secțiunile indicate în cele trei soluții și notează condițiile inițiale ale exemplelor.
- 1 punct: la cele două întrebări greșite, derivă răspunsul corect; scrie separat care condiție sau pas de calcul a fost omis.
- 2 puncte: revino la secțiunea legată de singura întrebare greșită, apoi verifică din nou rezultatul modificând o intrare.
- 3 puncte: ai aplicat corect cele trei relații în această serie de exerciții. Încearcă una dintre verificările articolului cu date proprii, notând și condițiile și unitățile de măsură.
Tradus și adaptat din articolul în limba maghiară: Articolul original în maghiară.