Azonos kezdősebesség mellett egy laposabb és egy meredekebb labdapálya ugyanakkora vízszintes távolságot érhet el. A ferde hajítás egyszerű modellje külön kezeli a vízszintes egyenletes mozgást és a függőleges, állandó gravitációs gyorsulást.
A következő hipotetikus számításokban a labda ugyanarra a magasságra érkezik vissza, ahonnan elindult. A levegőellenállást és a pörgést elhanyagoljuk, g = 9,81 m/s² állandó. Az eredmények ennek a modellnek a következményei, valódi sporthelyzetben a körülmények módosíthatják őket.
A kezdősebesség felbontása
A kezdősebesség nagysága v0, a vízszinteshez mért indulási szög θ. Vízszintesen v0 cos θ, függőlegesen v0 sin θ a kezdő komponens. A vízszintes sebesség a modellben állandó, a függőleges komponens másodpercenként g-vel csökken.
A tetőpont elérésének ideje v0 sin θ / g. Azonos indulási és érkezési magasságnál a teljes repülési idő ennek kétszerese:
T = 2v0 sin θ / g.
A vízszintes távolság R = v0² sin(2θ) / g, a kezdőponthoz viszonyított legnagyobb magasság pedig H = v0² sin² θ / (2g). A szög egységére a számológép beállításánál figyelj.
Első hipotetikus dobás: 30 fok
A labda 10 m/s sebességgel, 30°-ban indul. A függőleges kezdő komponens 5 m/s, a vízszintes körülbelül 8,660 m/s.
A teljes repülési idő 2 × 10 × 0,5 / 9,81 ≈ 1,019 s. A hatótávolság 100 × sin 60° / 9,81 ≈ 8,828 m. A tetőpont 100 × 0,25 / 19,62 ≈ 1,274 m a kezdőszint felett.
A távolságot a vízszintes sebesség és a teljes idő szorzatával is ellenőrizhetjük. A számoláshoz a köztes értékeket célszerű több tizedesjeggyel megtartani.
Második hipotetikus dobás: 60 fok
A kezdősebesség továbbra is 10 m/s, a szög ezúttal 60°. A vízszintes komponens 5 m/s, a függőleges körülbelül 8,660 m/s. A teljes repülési idő 1,766 s, a tetőpont 3,823 m.
A hatótávolság azonban ismét 8,828 m, mert sin 120° = sin 60°. A 30° és 60° egymást 90°-ra kiegészítő szögek. Az ideális, azonos szintre érkező hajításnál az ilyen szögpárok hatótávolsága megegyezik.
| Indulási szög | Repülési idő | Tetőpont | Vízszintes távolság |
|---|---|---|---|
| 30° | 1,019 s | 1,274 m | 8,828 m |
| 60° | 1,766 s | 3,823 m | 8,828 m |
A magasabb ív több időt tölt a levegőben, így a kisebb vízszintes sebesség mellett is ugyanoda jut. A köztes akadályok vagy egy mennyezet szempontjából a két pálya mégis különböző.
Melyik szög adja a legnagyobb távolságot?
A képletben a sin(2θ) legnagyobb értéke 1. Ez θ = 45° mellett teljesül, ezért az adott idealizált feltételekkel a maximális távolság v0²/g. A 10 m/s-os példában ez körülbelül 10,194 m.
A 45°-os eredmény nem általános szabály minden valódi dobásra. Eltérő érkezési magasság, légellenállás és a dobás során változó kezdősebesség módosíthatja az optimális szöget. Ha például magasabbról dobunk lefelé fekvő célhoz, a teljes repülési időt a függőleges helyzetegyenletből kell újraszámolni.
Visszaellenőrizhető leírás
A tetőpontnál csak a függőleges sebesség nulla. A vízszintes komponens ott is megmarad. A teljes sebességet nullának venni tévesen megállítaná a labdát a pálya tetején.
A grafikus számológép a szögfüggvények és a pályaadatok kiszámításához használható. Az eredmény mellett rögzítsd a kezdősebességet, a vízszinteshez mért szöget, a két végpont magasságát és a levegőellenállás elhagyását. Ezek együtt teszik ellenőrizhetővé a pálya értelmét.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Mi azonos a két példában?
- A) A teljes repülési idő.
- B) A tetőpont magassága.
- C) A vízszintes távolság.
2. Melyik sebességkomponens nulla a tetőpontban?
- A) A függőleges.
- B) A vízszintes.
- C) Mindkettő.
3. Mikor alkalmazható közvetlenül a megadott R képlet?
- A) Bármilyen szélben.
- B) Azonos végpontmagasság és elhanyagolt légellenállás mellett.
- C) Csak függőleges dobásnál.
Megoldások és indoklás
- 1. C: A 30° és 60° szögekhez tartozó sin(2θ) érték megegyezik.
- 2. A: A függőleges mozgás ott fordul meg, a vízszintes egyenletes mozgás folytatódik.
- 3. B: A levezetés ezekre a feltételekre épül; más magasságnál az időegyenlet megváltozik.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Bontsd fel a 10 m/s-os sebességet két komponensre. Ezután külön számold az időt és a vízszintes utat.
- 2 pont: A két pálya fő különbségét érted. A tetőpont sebességét vagy a képlet feltételeit nézd át újra.
- 3 pont: A mozgás két komponensét helyesen kezeled. Következőként egy 45°-os ideális példával ellenőrizd a távolság maximumát.
