Azonos lejtőn, nyugalomból indított tömör korong és vékony karika közül az ideális korong ér le előbb. Ehhez mindkettőnek csúszás nélkül kell gördülnie. A különbséget a forgástengelyhez viszonyított tömegeloszlás okozza: a karika tömege nagyobb arányban helyezkedik el a tengelytől távol, ezért azonos haladási sebességhez több forgási energia tartozik.
A számítás jól megmutatja, miért kell együtt kezelni egy gördülő test haladását és forgását. A következő két hipotetikus példa merev testeket, egyenes lejtőt és elhanyagolható légellenállást, alakváltozást, gördülési veszteséget feltételez.
A gördülési feltétel és az energia
Csúszásmentes gördüléskor v = ω × R. A v a tömegközéppont sebessége méter/másodpercben, ω a szögsebesség radián/másodpercben, R a sugár méterben. A test mozgási energiája két részből áll:
E = m × v² / 2 + I × ω² / 2.
Az I a forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték, mértékegysége kg·m². Homogén tömör korongnál I = m × R² / 2; vékony karikánál I = m × R². Ezek a saját középponton átmenő, a korong síkjára merőleges tengelyhez tartoznak.
Vezessük be a dimenzió nélküli k = I / (m × R²) alaktényezőt. Nyugalomból, h függőleges magasságvesztéssel indulva az energiamegmaradás:
m × g × h = m × v² × (1 + k) / 2.
Ebből v = √[2 × g × h / (1 + k)]. Az m kiesik. Azonos alakú, ideális testeknél a puszta tömegnövelés nem változtatja meg ezt a sebességet. A sugár is kiesik, mert a tehetetlenségi nyomaték sugárfüggését már tartalmazza k.
Első példa: egy méter magasságvesztés
Legyen h = 1 m és g = 9,81 m/s². A korong k értéke 0,5; a karikáé 1.
| Test | Sebesség a lejtő alján | A mozgási energia haladáshoz tartozó része |
|---|---|---|
| Tömör korong | √(19,62 / 1,5) ≈ 3,617 m/s | 2/3 |
| Vékony karika | √(19,62 / 2) ≈ 3,132 m/s | 1/2 |
Egy 2 kg tömegű test helyzeti energiájának csökkenése 19,62 J. A korong ebből 13,08 J haladási és 6,54 J forgási energiát kap. A karikánál mindkét rész 9,81 J. A teljes energia azonos, a két mozgásforma közötti eloszlás eltér.
A kisebb forgási hányadhoz nagyobb haladási sebesség tartozik. Ezt az eredményt akkor is megkapod, ha a karika tömegét megkétszerezed, miközben megőrzöd az ideális alakját és a gördülés feltételeit.
Második példa: mennyi idő a leérkezés?
Legyen a lejtő 2 m hosszú, hajlásszöge 30°. A függőleges magasságvesztés ekkor 1 m. Állandó hajlás esetén:
a = g × sin(θ) / (1 + k).
A korong gyorsulása 3,27 m/s², a karikáé 2,4525 m/s². Nyugalomból indulva az s = a × t² / 2 összefüggést használjuk, vagyis t = √(2 × s / a).
A korong ideje körülbelül 1,106 s; a karikáé 1,277 s. A különbség 0,171 s. A sebességet az a × t szorzattal visszaellenőrizve az előző táblázat eredményeit kapjuk. A hossz és a magasság tehát két külön adat: az energia a magasságvesztéshez, az idő a tényleges pályahosszhoz kapcsolódik.
Mikor szűnik meg az egyszerű modell érvényessége?
A tapadási súrlódás biztosítja a szükséges forgatónyomatékot. A nyugvó lejtő érintkezési pontja ideális gördülésben pillanatnyilag áll, ezért a tapadási súrlódás itt nem jelent automatikusan energiaveszteséget. Túl meredek vagy túl csúszós felületen a test megcsúszhat, és a v = ω × R feltétel már külön vizsgálatot igényel.
Gumikerék, csapágyazott kerék, üreges henger vagy vastag falú gyűrű saját tehetetlenségi nyomatékot és veszteségmodellt kíván. A „kerek tárgy” megnevezés ehhez kevés. Először az alakot, a tengelyt és az érintkezés módját rögzítsd. A tehetetlenségi nyomaték átváltó az egységek kezeléséhez, a grafikus számológép a képletek számszerű ellenőrzéséhez ad kapcsolódó segítséget.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Azonos magasságból, csúszás nélkül melyik ér el nagyobb sebességet?
- A) A vékony karika.
- B) A homogén tömör korong.
- C) Mindig a nehezebb test.
2. Melyik adat szükséges az energiából számolt végsebességhez?
- A) A függőleges magasságvesztés.
- B) Csak a lejtő teljes hossza.
- C) Csak a test kerülete.
3. Mikor használható közvetlenül a v = ω × R összefüggés?
- A) Bármilyen csúszó mozgásnál.
- B) Csak akkor, ha a súrlódás nulla.
- C) Csúszásmentes gördülésnél.
Megoldások és indoklás
- 1. B: A korong k = 0,5 értéke kisebb a karika 1 értékénél, így ugyanakkora magasságvesztésből nagyobb haladási sebesség adódik.
- 2. A: A gravitációs helyzeti energia változása m × g × h, ezért a függőleges h szerepel benne.
- 3. C: A feltétel az érintkező felületek relatív csúszásának hiányát fejezi ki; tapadási súrlódás közben jelen lehet.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Válaszd szét a haladási és forgási energiát. Írd fel a két test k értékét, majd számold újra az egyméteres példát.
- 2 pont: A gördülés fő összefüggéseit érted. Ellenőrizd még, hogy az időhöz pályahosszt, az energiához magasságot használsz.
- 3 pont: A három kérdésben helyesen kezelted az alakot, a magasságot és a gördülési feltételt. Következő lépésként számolj egy másik k értékű testtel.
