Két vékony lencse dioptriában megadott törőereje közvetlen érintkezés közelítésében összeadható. Ha a lencsék között számottevő távolság van, a rendszer eredő törőereje már ettől a távolságtól is függ. Ugyanaz a két lencse eltérő elrendezésben más effektív fókusztávolságot adhat.
Itt levegőben működő, közös optikai tengelyű, ideális vékony lencsékkel számolunk a tengelyhez közeli sugarak közelítésében. A példák oktatási optikai elrendezések. Egy teljes képalkotó rendszer részletes méretezéséhez további adatok, például apertúra, lencsealak és anyagjellemzők is szükségesek.
Mit fejez ki a dioptria?
A lencse törőereje a méterben megadott fókusztávolság reciproka:
P = 1 / f.
A P mértékegysége m⁻¹, hagyományos neve dioptria. Pozitív fókusztávolságú gyűjtőlencséhez pozitív, negatív fókusztávolságú szórólencséhez negatív törőerő tartozik ebben az előjel-konvencióban.
Egy 10 cm fókusztávolságú gyűjtőlencsénél f = 0,10 m, ezért P = +10 dioptria. A centiméterérték közvetlen reciprokának képzése más egységet adna: 1/10 = 0,1 cm⁻¹ ugyanennek a törőerőnek felel meg, de a 0,1-et dioptriának nevezni hibás lenne.
A továbbiakban P1 és P2 a két lencse törőereje, d a közöttük mért távolság méterben. A rendszer effektív törőereje:
Peredő = P1 + P2 − d × P1 × P2.
Az effektív fókusztávolság feredő = 1 / Peredő, ha Peredő nem nulla. A távolsági tag egysége helyes: m × m⁻¹ × m⁻¹ = m⁻¹.
Első hipotetikus példa: érintkező és elválasztott gyűjtőlencsék
Legyen az első lencse fókusztávolsága 0,10 m, a másodiké 0,20 m. Törőerejük +10 és +5 dioptria.
Közvetlenül egymás mellé helyezve, d = 0 közelítéssel:
Peredő = 10 + 5 = 15 dioptria.
Az effektív fókusztávolság 1 / 15 m ≈ 0,06667 m, azaz 6,667 cm. A két fókusztávolság összeadásával kapott 30 cm teljesen más eredmény lenne.
Most helyezzük őket 5 cm távolságra egymástól. A képletbe d = 0,05 m kerül:
Peredő = 10 + 5 − 0,05 × 10 × 5 = 12,5 dioptria.
Ekkor feredő = 1 / 12,5 = 0,08 m, azaz 8 cm. A távolság ebben az elrendezésben csökkentette az eredő törőerőt, és növelte az effektív fókusztávolságot.
Második hipotetikus példa: gyűjtő- és szórólencse
Legyen P1 = +10 dioptria, P2 = −5 dioptria. Érintkezési közelítésben Peredő = +5 dioptria, így feredő = 0,20 m.
Öt centiméter távolságnál:
Peredő = 10 − 5 − 0,05 × 10 × (−5) = 7,5 dioptria.
Az effektív fókusztávolság körülbelül 0,1333 m, azaz 13,33 cm. A távolsági tag itt növelte a pozitív törőerőt, mert a két lencse törőerejének szorzata negatív.
A „nagyobb távolság mindig gyengébb rendszert ad” szabály tehát túl általános lenne. Először a törőerők előjelét, majd a teljes képletet kell vizsgálni. Ha Peredő nulla, a rendszer ebben a közelítésben afokális: véges effektív fókusztávolság helyett párhuzamos bemenő nyalábból párhuzamos kimenő nyalábot adhat.
Honnan mérjük az effektív fókusztávolságot?
Az összetett rendszer effektív fókusztávolsága a rendszer megfelelő fősíkjához tartozik. A 8 cm-es eredmény ezért nem jelenti automatikusan azt, hogy egy távoli tárgy éles képe a második lencse mögött pontosan 8 cm-re jelenik meg. Ehhez a fősík helyét vagy a sugarak lépésenkénti haladását is ismerni kell.
A lencsesorrend az eredő törőerő fenti szimmetrikus képletét nem változtatja meg, a fősíkok helyzetét és a konkrét képsík távolságát viszont befolyásolhatja. A véges vastagság, a lencsék eltérő környezeti közege és a tengelytől távoli sugarak további módosításokat kívánnak.
A vékonylencse-képalkotás kalkulátor az alapvető képalkotási összefüggésekhez kapcsolódik; a grafikus számológép a kétlencsés képlet számszerű ellenőrzésében segíthet. Minden számítás mellé írd oda az előjeleket, a méterben megadott távolságot és azt, hogy effektív fókusztávolságot vagy tényleges képsíktávolságot keresel.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Mennyi egy +0,10 m fókusztávolságú lencse törőereje?
- A) +0,1 dioptria.
- B) +100 dioptria.
- C) +10 dioptria.
2. Mennyi +10 és +5 dioptria eredője 0,05 m távolságnál?
- A) 12,5 dioptria.
- B) 15 dioptria.
- C) 17,5 dioptria.
3. Mit jelent a kiszámolt effektív fókusztávolság?
- A) Mindig a második lencse felületétől mért képtávolság.
- B) A rendszer fősíkjához kapcsolódó fókusztávolság.
- C) A két lencse közötti távolság.
Megoldások és indoklás
- 1. C: A méterben vett fókusztávolság reciproka 1 / 0,10 = 10 m⁻¹.
- 2. A: A távolsági tag 0,05 × 10 × 5 = 2,5 dioptria, ezt levonjuk a 15-ből.
- 3. B: Összetett rendszerben a fősík és a lencse helye eltérhet, ezért a két távolságot külön kell kezelni.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Válts minden fókusztávolságot méterre, és írd fel a törőerők előjelét. Ezután ismételd meg az első példát d = 0 és d = 0,05 m mellett.
- 2 pont: Az eredő törőerőt többnyire helyesen kezeled. Nézd át még az effektív fókusztávolság és a tényleges képsík közötti különbséget.
- 3 pont: A három kérdésben jól használtad az egységet, a távolsági tagot és a fősík fogalmát. Következőként ellenőrizd a pozitív–negatív lencsepárt.
