Több mérési pont általában nem esik tökéletesen egy egyenesre. A lineáris regresszió olyan egyenest keres, amely az adott szempont szerint a legjobban illeszkedik a megfigyelésekhez. A szokásos legkisebb négyzetek módszere a függő változó irányában mért eltérések négyzetösszegét csökkenti a lehető legkisebbre.
Kalibrálásnál ez használható kapcsolatot adhat egy ismert bemenet és a műszer válasza között. A kapott egyenes becslési modell. A maradékok vizsgálata dönti el, mennyire megfelelő az adott mérési tartományban.
Hipotetikus kalibráció négy pontból
Tegyük fel, hogy ismert tömegterhelésekhez egy érzékelő millivoltos kimenetét jegyezzük fel. Az alábbi értékek oktatási célú, kitalált adatok.
| Tömeg x | Jel y |
|---|---|
| 0 g | 1 mV |
| 10 g | 3 mV |
| 20 g | 4 mV |
| 30 g | 6 mV |
Az illesztett alak y = a + bx. Az a tengelymetszet mV, a b meredekség mV/g egységű. A bemenetek átlaga 15 g, a kimenetek átlaga 3,5 mV.
A meredekséget az átlagtól vett eltérésekből számoljuk:
b = Σ[(x − xátlag)(y − yátlag)] / Σ[(x − xátlag)²].
A számláló 80 g·mV, a nevező 500 g². Ezért b = 0,16 mV/g. A tengelymetszet a = 3,5 − 0,16 × 15 = 1,1 mV. A becslő egyenes tehát y = 1,1 + 0,16x.
Mit mutatnak a maradékok?
A maradék a megfigyelt jel és az egyenesen becsült jel különbsége. Ezeket az eredeti mérések mellé érdemes felírni.
| Tömeg | Becsült jel | Megfigyelt mínusz becsült |
|---|---|---|
| 0 g | 1,1 mV | −0,1 mV |
| 10 g | 2,7 mV | +0,3 mV |
| 20 g | 4,3 mV | −0,3 mV |
| 30 g | 5,9 mV | +0,1 mV |
A négyzetösszeg 0,01 + 0,09 + 0,09 + 0,01 = 0,20 mV². A maradékok összege itt nulla; tengelymetszetet is tartalmazó, szokásos legkisebb négyzetes illesztésnél ez ellenőrzési támpont. Egy nulla maradékösszeg azonban önmagában keveset mond az egyenes megfelelőségéről. Nagy pozitív és negatív hibák is kiolthatják egymást.
Ha a maradékok az x növekedésével előbb pozitívak, majd negatívak, végül ismét pozitívak, az görbületre utalhat. Ilyenkor új pontokkal vizsgáld a kapcsolatot. Egyetlen kirívó adatot csak dokumentált mérési hiba alapján hagyj el.
Előre és visszafelé becslés
Egy második hipotetikus feladatban 15 g bemenethez keresünk jelet. Az egyenes 1,1 + 0,16 × 15 = 3,5 mV-ot ad. Ez a kalibrált tartományon belüli becslés.
Ha később 4,3 mV-ot mérünk, a modell egyszerű megfordításával x = (4,3 − 1,1) / 0,16 = 20 g adódik. Ez gyakorlati visszaszámítás. A műszer mérési hibáját, a referencia bizonytalanságát és az illesztés becslési hibáját ettől még figyelembe kell venni. A változók szerepének felcserélésével újraillesztett regresszió általában eltérő egyenest eredményez.
Mikor indokolt óvatosabban következtetni?
Az eljárás a bemeneti x értékeket ebben a modellben rögzítettnek kezeli. Jelentős x-irányú mérési hiba esetén más illesztési módszer lehet szükséges. Eltérő megbízhatóságú kimeneti méréseknél súlyozott illesztés mérlegelhető. A 0–30 g-os tartományból kapott egyenest 300 g-ra kiterjeszteni külön ellenőrzés nélkül gyenge alap.
A grafikus számológép segít a képlet és a részösszegek kiszámításában. A saját munkalapon tartsd együtt a bemeneteket, a méréseket, a becsléseket és a maradékokat; ebből látható, mire épül az eredmény.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Mi az illesztett meredekség mértékegysége?
- A) g/mV
- B) mV/g
- C) mV²
2. Mekkora jelet becsül az egyenes 15 g-nál?
- A) 3,5 mV
- B) 2,4 mV
- C) 4,3 mV
3. Mit bizonyít önmagában a nulla maradékösszeg?
- A) A műszernek nincs hibája.
- B) Az egyenes minden tartományban érvényes.
- C) A pozitív és negatív maradékok összege kiegyenlíti egymást.
Megoldások és indoklás
- 1. B: A kimenet változását a bemenet változásával osztjuk.
- 2. A: A tengelymetszetet is hozzáadjuk: 1,1 + 0,16 × 15 = 3,5.
- 3. C: A maradékok nagyságát és mintázatát külön kell ellenőrizni; a nulla összeg nem teszi hibátlanná a modellt.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Számold újra a két átlagot, majd az egyenesből a négy becsült jelet. A mértékegységeket minden lépéshez írd oda.
- 2 pont: Az illesztés alaplépéseit érted. A maradékok jelentését vagy a tengelymetszet szerepét nézd át újra.
- 3 pont: A becslést és ellenőrzését is követed. Következő lépésként mérj egy új, korábban fel nem használt bemeneti értéknél.
