Egy majdnem teljes albumnál újabb száz matrica sem feltétlenül jelent száz lépést a befejezés felé. A már meglévő fajták újra előkerülhetnek, és egy korábban hiányzó típus első megszerzése után annak következő példánya is duplává válik. A gyűjtemény telítődése közben megváltozik az új fajta esélye.
A matricagyűjtés kalkulátora a kuponkollektor-probléma egyszerű modelljét használja. Megmutatja a befejezésig várható további darabszámot és egy megadott új húzásszám után várható hiányt. A számolás előtt tisztázni kell, mit jelent a véletlen húzás, és miben térhet el ettől egy valódi gyártó csomagolása. A cikk példái kitalált, százféle matricából álló sorozatra vonatkoznak.
A modell három feltételét ellenőrizd
Minden fajta azonos valószínűséggel érkezik, az egyes darabok egymástól függetlenek, és a gyűjtés közben nem cserélsz másokkal. Százféle matrica esetén így minden új húzásnál egy adott típus esélye 1 / 100. A már meglévő darabok nem kerülnek ki a lehetséges következő kimenetelek közül.
A Wolfram kuponkollektor-leírása az ismételt véletlen kiválasztás mellett a teljes készlet összegyűjtését vizsgálja. A kalkulátor ennek az egyforma esélyű változatát kezeli. Ritka lapokhoz, eltérő gyártási arányokhoz vagy cserélő közösséghez nem áll rendelkezésre ugyanilyen egyszerű bemenet.
A meglévő mennyiségnél különböző fajtákat adj meg. Ha 80 különböző lapod és további 40 duplád van, a mezőbe 80 kerül. A tervezett új mennyiség darabszámot jelent. Egy csomag öt lapja öt húzásként csak akkor illeszkedik a modellhez, ha ezek valóban függetlenek és azonos eloszlásúak.
Miért lassul az új fajták gyűjtése?
Ha a száz típusból húsz hiányzik, a következő darab húszféleképpen lehet új, ezért az újdonság esélye 20 / 100 = 20%. Ha már csak egy fajta hiányzik, ugyanaz az arány 1 / 100 = 1%. A készlet állapota megváltozott, ezért ugyanannyi új darab várhatóan kevesebbet ad a gyűjteményhez.
Az OpenStax geometriai eloszlásról szóló fejezete az első sikerig tartó, állandó találati esélyű független próbákat tárgyalja. Ha egy ilyen szakaszban a siker esélye p, az első sikerig várható próbák száma 1 / p.
Amíg húsz típus hiányzik, a következő új típusig várható darabszám 1 / 0,2 = 5. Az utolsó hiányzó típusnál ugyanez 1 / 0,01 = 100. Ezek a számok egy-egy gyűjtési szakasz átlagos hosszát adják. Egyetlen szakasz ennél rövidebb és hosszabb is lehet.
Első példa: százból húsz hiányzik
A szemléltető album százféle matricát tartalmaz. Nyolcvan különböző típus már megvan, húsz hiányzik. További száz független, véletlen darabbal számolunk. Először azt kérdezzük, hány hiányzó fajtára számíthatunk e száz húzás végén.
Egy meghatározott hiányzó fajta kimaradásának esélye egy húzásnál 99 / 100 = 0,99. Száz egymástól független húzásnál annak esélye, hogy ez a fajta végig kimarad, 0,99¹⁰⁰ = körülbelül 0,36603234. A húsz eredetileg hiányzó típusból ezért várhatóan 20 × 0,36603234 = 7,3206468 fajta marad hiányzó.
Az újonnan megszerzett különböző fajták várható száma 20 − 7,3206468 = 12,6793532. Két tizedesre kerekítve ez 7,32 hiányzó és 12,68 új típus. A tört eredmény sok azonos helyzet hosszú távú átlagát jelöli. Egyetlen album természetesen egész számú típust tartalmaz.
A száz új darabból várhatóan 100 − 12,6793532 = 87,3206468 olyan darab érkezik, amely nem növeli tovább a különböző típusok számát. Ebbe az induláskor már meglévő matricák és az időközben megszerzett új típusok későbbi ismétlései is beleszámítanak.
Miért nem elég egyszerűen százszor megszorozni a kezdeti 20%-ot? Mert az első új típus után már csak tizenkilenc fajta hiányzik. A kezdeti újdonsági arány minden húzásra változatlanul alkalmazva figyelmen kívül hagyná a gyűjtemény változását.
Mennyit jelent a teljes befejezésig várható érték?
Az előző példában a következő új típusig várhatóan 100 / 20 darab kell, utána 100 / 19, majd 100 / 18, egészen az utolsó hiányzóhoz tartozó 100 / 1-ig. Ezeket összeadva 100 × (1 + 1/2 + … + 1/20) = 359,7739657 további darab adódik.
A körülbelül 359,77-es eredményt ne írd át úgy, hogy 360 darab biztosan befejezi az albumot. A matematikai várható érték nem felső korlát. A folyamat bármely véges darabszám után adhat további ismétléseket. A kalkulátor a teljes befejezéshez tartozó választott valószínűségi szintet külön nem számolja.
A szakaszok összeadásánál az a lényeg, hogy minden új típus megszerzése után eggyel kevesebb hiányzó marad. A maradék típusok darabszámát minden lépésben frissítjük. A program külön megmutatja, hogyan nő a következő új darabhoz tartozó várható húzásszám a gyűjtés végén.
Második példa: egyetlen fajta hiányzik
Most 99 különböző matrica már megvan a százból. Egy adott hiányzó típusra vársz, amelynek minden új független húzásban 1% az esélye. A befejezésig várható további húzásszám 100. Ez különösen jól mutatja, miért kell elválasztani az átlagot a siker valószínűségétől.
Száz húzás után a lap kimaradásának esélye továbbra is 0,99¹⁰⁰, körülbelül 36,60%. A megszerzés esélye ennek az ellentettje: 1 − 0,99¹⁰⁰ = 63,3968%. Az átlagos várakozásnak megfelelő száz húzás tehát nagyjából 63,4%-os sikeresélyhez tartozik ebben a konkrét esetben.
Ha legalább 95%-os elméleti esélyhez tartozó darabszámot keresel ennél az egy hiányzó típusnál, az 1 − 0,99^m legalább 0,95 feltételt kell megoldani. Ebből m legalább ln(0,05) / ln(0,99), ami körülbelül 298,073. Felfelé kerekítve 299 húzás szükséges a modellben.
Ez a 299-es levezetés a cikk külön valószínűség-számítása, és egyetlen hiányzó fajtára érvényes. A matricakalkulátor nem kínál általános, minden hiányzóra érvényes 95%-os befejezési mezőt. A 299 darab sem garancia: a feltétel a számított esélyre vonatkozik, és nem vásárlási javaslat.
Mikor ad félrevezető képet a csomagok száma?
Egy csomagon belüli ismétlési tilalom megsérti a darabonkénti függetlenséget. Ha a gyártó garantál bizonyos kategóriákat, külön ritkasági szinteket használ, vagy összehangolja a csomagok tartalmát, akkor más eloszlás keletkezik. Ezeket a szabályokat az egyenlő esélyű modell nem tudja követni.
A csere szintén más folyamatot eredményez. Ha valakitől célzottan egy hiányzó lapot kapsz, az nem véletlen húzás a teljes sorozatból. A megszerzett új típussal frissítheted a meglévő darabszámot, és onnan újraszámolhatod a még hátralévő véletlen gyűjtést. A cserék várható sikerét az eszköz nem becsli meg.
A várható hiányzó darabszám és a teljes album befejezésének valószínűsége több hiányzó típusnál sem ugyanaz. A 0,5 várható hiányból nem következik 50%-os kész album. Az előző egyhiányzós esetben azért volt ilyen közvetlen kapcsolat, mert a végén kizárólag nulla vagy egy hiányzó maradhatott.
Hogyan használd értelmes döntéshez?
Először készíts listát a meglévő különböző típusokról. Ellenőrizd, mit tudsz a sorozat eloszlásáról és a csomagolási szabályokról. Ha ezek eltérnek a feltételezett modelltől, a számítást szemléltető összehasonlításként kezeld, és ezt az eredmény mellett is tartsd észben.
A következő lépésben adj meg egy előre választott új darabszámot, és nézd meg a várható új típusok mennyiségét. A beszerzésre szánt saját keretedet ettől külön határozd meg. Az, hogy már sok lapod van, nem változtatja meg egy konkrét, még hiányzó típus következő húzásbeli 1%-os esélyét a százfajtás modellben.
A százalékkalkulátor segít a megszerzett arány ellenőrzésében, a valószínűségi kalkulátor pedig az általános próbamodellek vizsgálatában. Kezdd a tényleges hiánylistával, majd olvasd el együtt az átlagos darabszámot és annak feltételeit. Így a számításból értelmezhető becslés készül.
Források
- Wolfram MathWorld: Coupon Collector’s Problem – az ismételt véletlen gyűjtés alapfeladata.
- OpenStax: Geometric Distribution – az első sikerig tartó független próbák. A húsz és egy hiányzó típus példáit ezekből a feltételekből vezettük le.