Egy alkatrész mért mérete lehet az előírt tűrésen belül úgy, hogy az előre egyeztetett döntési szabály alapján mégsem fogadható el. A mérési bizonytalanság és az elfogadási határ közötti kapcsolatot ezért a vizsgálat előtt érdemes számszerűen rögzítened. Enélkül ugyanarra a mérési eredményre eltérő megfelelőségi állítások születhetnek.
Az alábbi saját példában kétoldali mérettűréssel, normális mérési modellel és egy kifejezetten megválasztott döntési sávval számolunk. Megnézzük az egyetlen mért darabhoz tartozó kockázatot, a mérési eljárás ismétlésekor előforduló hibás döntéseket és egy pontosabb mérés hatását is.
A tűrést és az elfogadási szabályt külön rögzítsd
A szemléltető alkatrész valódi, vizsgált mérete akkor felel meg az előírásnak, ha:
9,900 mm ≤ y ≤ 10,100 mm.
Az alsó tűréshatár L = 9,900 mm, a felső H = 10,100 mm. A teljes tűrésmező szélessége 0,200 mm. Ezek előre megadott követelmények; a mérés bizonytalansága nem módosítja az alkatrész előírt méretét.
A mérési eljárás standard bizonytalansága legyen u = 0,020 mm, és a példában az egész vizsgált tartományban tekintsük állandónak. A k = 2 tényezővel képzett kiterjesztett bizonytalanság U = 0,040 mm. Feltételezzük a jelentős ismert rendszeres eltérések korrekcióját és a mérési modell alkalmazhatóságát.
Most azt a kétkimenetelű szabályt választjuk, hogy a mért x értéket akkor fogadjuk el, ha a teljes x ± U intervallum a tűrésen belül helyezkedik el. Ez mindkét oldalon w = U = 0,040 mm széles döntési sávot, angolul guard bandet jelent.
Elfogadási tartomány: L + w ≤ x ≤ H − w.
Behelyettesítve 9,940 mm ≤ x ≤ 10,060 mm. A példában a határpontokat is elfogadjuk. Az ezen kívüli mért eredmények a választott szabály szerint elutasítást kapnak.
Az ILAC G8:09/2019 útmutató többféle döntési szabályt tárgyal. A vizsgálatnak megfelelő szabály előzetes egyeztetését és dokumentálását hangsúlyozza. A w = U itt választott szabály; alkalmazhatóságát az adott előírással és a szerződéses követelménnyel kell összevetni. Általánosan kötelező sávszélességet ebből a példából nem lehet megállapítani.
Ugyanaz a tűrés, eltérő mérési döntések
| Mért x érték | x − U | x + U | A választott szabály eredménye |
|---|---|---|---|
| 9,935 mm | 9,895 mm | 9,975 mm | Elutasítás; az alsó elfogadási határon kívül van |
| 10,055 mm | 10,015 mm | 10,095 mm | Elfogadás |
| 10,060 mm | 10,020 mm | 10,100 mm | Elfogadás, pontosan a felső elfogadási határon |
| 10,070 mm | 10,030 mm | 10,110 mm | Elutasítás; a felső elfogadási határon kívül van |
A 9,935 és a 10,070 mm-es kijelzés egyaránt a tűrésen belül található. A teljes bizonytalansági intervallumuk azonban átlépi valamelyik tűréshatárt. A választott szabály ezért elutasítja őket.
Az elutasító döntés önmagában nem bizonyítja, hogy a darab valódi mérete kívül van a tűrésen. A szabály az elfogadás feltételét rögzíti, és ezzel együtt bizonyos megfelelő darabok elutasítását is vállalja. Ha a folyamat feltételes eredményt vagy új vizsgálatot is megenged, annak jelentését és következményét külön kell előre meghatározni. Az ILAC útmutató a többkimenetelű szabályokat is ismerteti.
A döntést a rendelkezésre álló, kellően pontos számértékből hozd meg, a közlési kerekítést pedig utána végezd. Egy 10,0604 mm-es érték a mostani 10,060 mm-es határon kívül van akkor is, ha három tizedesre kerekítve ugyanúgy 10,060 mm jelenik meg.
Mit jelent egy darabnál a hibás elfogadás kockázata?
A további valószínűségi számításhoz külön feltevés kell. A mérés után a valódi Y mennyiségről rendelkezésre álló információt a példában x közepű, u szórású normális eloszlással írjuk le. Jelölése Y adott x mellett: N(x,u²). Ez például ismert szórású, korrigált normális mérési modell és lényegében egyenletes előzetes információ mellett használható közelítés. Az előzetes információnak a tűréshatárokon túl is kellően széles tartományban laposnak kell lennie; a kizárólag 9,900–10,100 mm közé korlátozott előzetes eloszlás más eredményt adna. Erős korábbi információt a darabról vagy a gyártási folyamatról ebben a számításban nem alkalmazunk.
A JCGM 106:2012 útmutató a mérési információból származó megfelelési valószínűséget és az egyedi kockázatot tárgyalja. Egy elfogadott konkrét darab egyedi fogyasztói kockázata annak esélye, hogy a valódi érték mégis a tűrésen kívül van. Az értelmezés a választott valószínűségi modellhez kötött.
Jelölje Φ(z) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét. A NIST normális eloszlásról szóló leírása adja ennek matematikai hátterét. Kétoldali tűrésnél mindkét kilógó rész valószínűségét figyelembe vesszük:
P(Y a tűrésen kívül | x) = Φ((L − x) / u) + 1 − Φ((H − x) / u).
A felső elfogadási határon, x = 10,060 mm-nél az alsó és felső határ standardizált távolsága −8 és +2. A tűrésen kívüli valószínűség:
Φ(−8) + 1 − Φ(2) ≈ 0,02275013, azaz 2,2750%.
Az alsó oldali tag ebben a konkrét méretarányban nagyon kicsi, de a képletben szerepel. A kétoldali feladatot ezért nem helyettesítettük feltétel nélkül egyetlen oldallal.
| Mért x érték | Meg nem felelés modellbeli valószínűsége | Döntés a megadott sávval |
|---|---|---|
| 10,055 mm | 1,2224% | Elfogadás |
| 10,060 mm | 2,2750% | Elfogadás |
| 10,070 mm | 6,6807% | Elutasítás |
| 10,100 mm | Megközelítőleg 50% | Elutasítás |
A 10,070 mm-es darabnál a 6,6807% a meg nem felelés valószínűsége ebben a modellben. Mivel a darabot a szabály elutasítja, itt az egyedi gyártói kockázat a megfelelő volta miatti téves elutasítás esélye: 100% − 6,6807% ≈ 93,3193%. A beljebb húzott elfogadási határ tudatosan szigorú.
A 2,2750% más eloszlás, más bizonytalanság vagy más döntési sáv esetén nem vihető át automatikusan. A k = 2 szorzó megadása önmagában nem bizonyítja a teljes normális mérési modellt.
A mérési eljárás ismétlése más feltételes kérdés
Most rögzítsünk egy feltételezett valódi y értéket, és képzeljük el a teljes mérési eljárás sok ismétlését. A saját modellünkben a kapott X mért érték normális eloszlású, közepe y, szórása 0,020 mm. Ezt a teljes hibamodellt külön feltételezzük; egyetlen műszer gyors ismételt leolvasásának szórásából önmagában nem következik.
A kérdés ekkor: milyen gyakran kerül X az elfogadási tartományba, ha a valódi y-t rögzítettük? A mért értékre feltételes előző számítás és a valódi értékre feltételes mostani számítás eltérő eseményeket vizsgál.
Legyen az egyik darab valódi mérete 10,105 mm, tehát a tűrésen kívül. Egy másiké 10,050 mm, tehát azon belül. Hasonlítsuk össze a sáv nélküli egyszerű elfogadást és az előbb választott sávot:
| Döntési szabály, u = 0,020 mm mellett | A 10,105 mm-es darab hibás elfogadásának esélye | A 10,050 mm-es darab hibás elutasításának esélye |
|---|---|---|
| Egyszerű elfogadás: 9,900–10,100 mm | 40,1294% | 0,6210% |
| Döntési sávval: 9,940–10,060 mm | 1,2224% | 30,8538% |
A hibás elfogadás számítása az a–b elfogadási tartományra:
P(a ≤ X ≤ b | y) = Φ((b − y) / u) − Φ((a − y) / u).
A 10,105 mm-es darabnál a felső határ sáv nélkül −0,25, sávval −2,25 standardizált értéket ad. Innen származik a 40,1294% és az 1,2224%. A másik, valóban megfelelő darabnál a felső elfogadási határ távolsága 2,5 szórásról 0,5 szórásra csökken; ezért nő jelentősen az elutasítás esélye. Mindkét számítás az alsó oldalt is tartalmazza.
Ezek két megnevezett valódi mérethez tartozó feltételes valószínűségek. A teljes gyártás selejtarányát vagy az elfogadott szállítmány hibaarányát nem adják meg. Az ilyen összesítéshez a gyártott valódi méretek eloszlása is kell.
A JCGM 106 szerinti globális fogyasztói kockázat az összes vizsgált darab körében a hibás elfogadás együttes valószínűsége. Ha azt keresed, hogy az elfogadott darabok mekkora része hibás, ezt még az elfogadás valószínűségével is osztanod kell. A jelentésben a nevezőt és a feltételt egyértelműen nevezd meg.
Mit változtat egy valóban pontosabb mérés?
Vizsgáljunk egy másik eljárást, amelynél igazoltan u = 0,010 mm érhető el. A tűrés marad, a szabály továbbra is w = 2u. Az új kiterjesztett bizonytalanság és sávszélesség 0,020 mm, az elfogadási tartomány 9,920–10,080 mm.
Ha ezzel az új eljárással végzett mérés ismét 10,070 mm-t ad, a darab a szabály szerint elfogadható. A hozzá tartozó x ± U intervallum 10,050–10,090 mm. A normális modellben a meg nem felelés esélye megközelítőleg 0,1350%. Ehhez új, megfelelően alátámasztott mérési eredmény kell; az előző méréshez utólag kisebb u-t rendelni nem lenne igazolt.
A két rögzített valódi méretnél is újraszámolhatjuk a döntés viselkedését:
| Eljárás és elfogadási tartomány | Hibás elfogadás y = 10,105 mm-nél | Hibás elutasítás y = 10,050 mm-nél |
|---|---|---|
| u = 0,020 mm; 9,940–10,060 mm | 1,2224% | 30,8538% |
| u = 0,010 mm; 9,920–10,080 mm | 0,6210% | 0,1350% |
Az új eljárás ebben a modellben mindkét megnevezett valódi méretnél kedvezőbb döntési viselkedést ad. A gazdasági értékeléshez a két kiragadott méret helyett a teljes termelés eloszlását, az új vizsgálat költségét, valamint a hibás elfogadás és elutasítás következményeit is figyelembe kell venned.
Ha a cél változatlanul a határidőre kiadható, követelményt teljesítő termék, egy pontosabb vizsgálat az elutasított megfelelő darabok mennyiségén is javíthat. Az ismétlés lehetőségét és a végső döntés szabályát előre rögzítsd; a kedvező eredményig ismételt mérés más eljárás lenne, saját kockázati modellel.
Mikor túl nagy a bizonytalanság ehhez a szabályhoz?
A kétoldali elfogadási tartomány szélessége:
H − L − 2w.
A választott w = 2u szabállyal ez 0,200 mm − 4u. Pozitív szélességű elfogadási tartományhoz u < 0,050 mm szükséges. Pontosan 0,050 mm-nél egyetlen elfogadható pont maradna, 10,000 mm; a folytonos modellben ennek eltalálási valószínűsége nulla. Ennél nagyobb u esetén a két elfogadási határ sorrendje megfordul, tehát a szabály egyetlen eredményt sem fogad el.
Ez előzetes alkalmassági kérdés. Ilyen helyzetben a mérési módszer, a vizsgált követelmény vagy az alkalmazandó döntési szabály egyeztetése szükséges. A sávot egy kedvezőtlen mérés után önkényesen szűkíteni megváltoztatná a vállalt kockázatot.
A számítást és a nyilatkozatot hogyan készítsd elő?
A mérési bizonytalanság kalkulátor a megfelelően előkészített, független bemeneti bizonytalanságokból u-t és választott k mellett U-t számol. A cikkben szereplő elfogadási határokat és feltételes normális valószínűségeket külön vezettük le. A kalkulátor nem választ helyetted megfelelőségi döntési szabályt és nem ad automatikus termékminősítést.
A vizsgálati megállapodásban legyen azonosítható a mennyiség, a tűrés, a mérési eljárás és az alkalmazandó szabály. A mérési eredménynél szerepeljen x, u vagy az egyértelműen jelölt U, a használt k és a döntés alapja. Ha kockázati százalékot is közölsz, tedd hozzá, milyen eloszlással és milyen feltételes vagy összesített eseményre számoltad.
Ebben a példában egy 10,070 mm-es mérésnél a teljes, ellenőrizhető döntési indok: 9,900–10,100 mm tűrés, 0,020 mm standard bizonytalanság, k = 2, w = U, 9,940–10,060 mm elfogadási tartomány, a választott kétkimenetelű szabály szerinti elutasítás. Ebből pontosan látszik, milyen feltétel változtatásakor kell új döntést hozni.
Módszertani források
- JCGM 106:2012: a 7–9. fejezet a megfelelési valószínűséget, az elfogadási tartományt és a kockázatok értelmezését tárgyalja.
- ILAC G8:09/2019, az International Accreditation Service által közölt eredeti útmutató: döntési szabályok, döntési sávok és előzetes dokumentálás. A dokumentum az ILAC hivatalos útmutatójegyzékében is szerepel.
- NIST: normális eloszlás: az eloszlásfüggvény és a standardizálás matematikai alapja.
A méretek és a két mérési eljárás saját szemléltető feltevések. A valószínűségeket ezekből, mindkét tűréshatár figyelembevételével számoltuk.