Egy mérési naplóban a hőmérséklet értékei mellett a változás gyorsasága is érdekes lehet. Ehhez az értékkülönbséget elosztjuk az eltelt idővel. A kapott különbségi hányados egy szakasz átlagos változási üteme. Megfelelően sima folyamatnál ebből a pillanatnyi deriváltat is közelíthetjük.
A számolás előtt döntsd el, melyik időpont vagy időszakasz érdekel. A „másodpercenként 0,4 fok” csak akkor értelmezhető, ha a mérési időközt és a felhasznált pontokat is megadod. A szenzor kijelzési pontossága szintén része a következtetésnek.
Előre, hátra és középre számolt különbség
Egy hipotetikus melegedési kísérletben a következő adatokat olvassuk le:
| Idő | Hőmérséklet |
|---|---|
| 0 s | 20,0 °C |
| 10 s | 23,0 °C |
| 20 s | 28,0 °C |
A 0–10 másodperces szakaszon az átlagos ütem (23 − 20) / 10 = 0,3 °C/s. A 10–20 másodperces szakaszon (28 − 23) / 10 = 0,5 °C/s. Ez már jelzi, hogy a teljes megfigyelésre egyetlen állandó ütem csak közelítés lenne.
A 10. másodperc körüli középső becslés a két szomszédos mérésből készül:
középső differencia = [T(t + h) − T(t − h)] / (2h).
Itt h = 10 s, ezért (28 − 20) / 20 = 0,4 °C/s. A nevező a két szélső pont közötti teljes idő. Gyakori hiba, hogy valaki 10 másodperccel oszt, és kétszer akkora értéket kap.
Mit közelít ez a szám?
Az előző táblázatot pontosan előállítja a hipotetikus T(t) = 20 + 0,2t + 0,01t² függvény, ha t másodpercben értendő. Ennek változási üteme 0,2 + 0,02t, a 10. másodpercben valóban 0,4 °C/s. Ebben a különleges példában a középső becslés és a derivált megegyezik.
Valódi adatoknál a függvényt általában nem ismerjük ilyen pontosan. A középső differencia akkor ad jó helyi közelítést, ha a folyamat a vizsgált környezetben simán változik, és az időköz elég kicsi a változás időléptékéhez. Ugrás, kapcsolás vagy mérési kiesés környezetében külön értelmezés szükséges.
A zaj és az időköz kapcsolata
Második hipotetikus példánkban mindkét szélső hőmérsékletmérés hibájának abszolút értéke legfeljebb 0,2 °C. A két mérés különbségének legkedvezőtlenebb hibája így 0,4 °C lehet. Húsz másodperces távolságnál ez legfeljebb 0,4 / 20 = 0,02 °C/s eltérést okoz.
Ha ugyanilyen mérési hibával csak két másodpercre levő pontokat vonunk ki, a határ 0,4 / 2 = 0,2 °C/s. Ez tízszer akkora. A rövidebb időköz jobban követheti a gyors változást, közben a különbségképzés érzékenyebbé válik a zajra. Ezért a mintavétel sűrítését célszerű ismételt méréssel és a jel simaságának vizsgálatával együtt kezelni.
A fenti számítás hibakorlátot ad. Független véletlen hibák szórásának számításakor más összegzési szabály is indokolt lehet; a két fogalmat tartsd külön.
Saját adatsor ellenőrzése
Egyenlőtlen időköznél a 2h nevezős egyszerű képlet közvetlenül nem alkalmazható. Használj a tényleges időbélyegekhez illesztett módszert. A sor elején és végén hiányzik az egyik szomszéd, így egyoldali becslésre vagy további mérésre lesz szükség.
Ha a számláló °C, a nevező perc, az eredmény °C/perc. A kelvin/másodpercben megadott hőmérséklet-változás számértéke megegyezik a °C/s értékkel. Az előjel a melegedést vagy hűlést jelzi. A grafikus számológép a különbségek és hányadosok ellenőrzéséhez használható; a fizikai értelmezést a mérési körülmények alapján add meg.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Mennyi a középső differencia a 10. másodpercnél?
- A) 0,4 °C/s
- B) 0,8 °C/s
- C) 4 °C/s
2. Mi történik azonos mérési hibánál, ha a két pont időtávolsága tizedére csökken?
- A) A hibahatás biztosan eltűnik.
- B) A különbségi hányados hibakorlátja tízszeres lehet.
- C) A derivált mindig pontos lesz.
3. Mit jelent a −0,2 °C/s eredmény?
- A) A mért hőmérséklet negatív.
- B) A szenzor hibás.
- C) A hőmérséklet a vizsgált környezetben csökken.
Megoldások és indoklás
- 1. A: A 28 és 20 °C közti 8 fokos eltérést a 20 másodperces teljes távolsággal osztjuk.
- 2. B: Ugyanazt az értékkülönbségi hibát tízszer kisebb idővel osztjuk.
- 3. C: A derivált előjele a változás irányára vonatkozik; a hőmérséklet ettől még lehet pozitív.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: A mérési értéket, az eltérést és az eltelt időt külön írd fel. Utána a két szakasz hányadosával kezdd az ellenőrzést.
- 2 pont: A helyi változási ütemet jól közelíted. Nézd át az időköz és a zaj kapcsolatát a második példában.
- 3 pont: Érted a differenciálás és a mérési zaj kapcsolatát. Saját adatsornál hasonlíts össze több időközzel számolt eredményt.
