Egy téglalap alakú lap négy sarkából azonos négyzeteket vágunk ki, majd az oldalakat felhajtjuk. A kapott nyitott doboz térfogata a kivágás méretétől függ. Meglepő lehet, hogy ugyanahhoz a kívánt térfogathoz két különböző kivágási méret is tartozhat.
A feladat jó példa arra, hogyan kapcsolódik egy harmadfokú egyenlet a geometriai feltételekhez. Az algebrai megoldáslista önmagában még nem mondja meg, melyik doboz készíthető el az eredeti lapból.
A modell felírása
Hipotetikus oktatási példánkban a lap mérete 20 × 30 cm. A sarokból kivágott négyzet oldala legyen x cm. Az anyagvastagságot, a hajtási ívet és a ragasztófüleket elhanyagoljuk.
A doboz méretei:
- magasság: x;
- rövidebb alapél: 20 − 2x;
- hosszabb alapél: 30 − 2x.
A térfogat ezért V(x) = x(20 − 2x)(30 − 2x), köbcentiméterben. A fizikai tartomány 0 < x < 10 cm. A nulla kivágás lapos alakzatot ad, a 10 cm-es kivágásnál pedig eltűnik a rövidebb alapél.
Egy literhez tartozó egyenlet
Egy liter 1000 cm³, ezért x(20 − 2x)(30 − 2x) = 1000. Kifejtve:
4x³ − 100x² + 600x − 1000 = 0.
Az x = 5 könnyen kipróbálható gyök. A polinom tényezős alakja 4(x − 5)(x² − 20x + 50). A másodfokú tényezőből további két gyök következik: x = 10 − √50 és x = 10 + √50.
A három algebrai jelölt tehát körülbelül 2,929 cm; 5 cm; 17,071 cm. A 0 < x < 10 geometriai feltétel az első kettőt engedi meg. A 17,071 cm-es gyök kívül esik a lehetséges kivágási tartományon.
Két megfelelő doboz
Az 5 cm-es kivágás 5 cm magas, 10 × 20 cm alapterületű dobozt ad. Térfogata 5 × 10 × 20 = 1000 cm³.
A másik megfelelő kivágás x ≈ 2,928932 cm. A doboz alapterületi méretei körülbelül 14,142136 és 24,142136 cm. Ezek szorzata a 2,928932 cm-es magassággal szintén 1000 cm³. A számolásban érdemes az x = 10 − √50 pontos alakot vagy több belső tizedesjegyet megtartani.
| Kivágás | Magasság | Alap mérete | Térfogat |
|---|---|---|---|
| 5 cm | 5 cm | 10 × 20 cm | 1000 cm³ |
| 10 − √50 cm | kb. 2,929 cm | kb. 14,142 × 24,142 cm | 1000 cm³ |
A két megoldás eltérő tárgyaknak adhat megfelelő helyet. A puszta térfogat nem dönti el, melyik használható: az elhelyezendő tárgy magassága és alapterületi mérete is számít.
Miért jelenik meg két megoldás?
Kis x mellett a doboz sekély, ezért a térfogata alacsony. A kivágás növelésével a magasság nő, miközben az alap mindkét mérete csökken. A térfogat egy pontig emelkedik, majd ismét csökken. Emiatt ugyanazt a köztes térfogatot a növekvő és a csökkenő szakaszon is elérhetjük.
Ebben a példában a maximális térfogat körülbelül 1056,306 cm³, x ≈ 3,923748 cm mellett. Egy második hipotetikus cél, például 1200 cm³, már meghaladja ezt, így az adott lapból a modell szerint nem állítható elő. A céltérfogat növelése nem mindig oldható meg pusztán nagyobb kivágással.
Ellenőrzés és gyakorlati határ
Minden gyököt helyettesíts vissza az eredeti, szorzatos térfogatképletbe, majd külön ellenőrizd mindhárom méret pozitivitását. Két negatív alapél szorzata algebrailag pozitív lehet, miközben valódi dobozt nem jelent.
A harmadfokúegyenlet-kalkulátor a gyökök megkereséséhez kapcsolódik, a grafikus számológép a térfogatfüggvény részszámításaihoz használható. Valódi csomagolásnál a belső méreteket, az anyagvastagságot és a hajtási ráhagyást külön kell beépíteni a tervbe.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Melyik tartományban készülhet valódi doboz a modell szerint?
- A) 0 < x < 10 cm
- B) 0 < x < 20 cm
- C) Minden pozitív x mellett
2. Hány fizikailag megfelelő kivágás ad 1000 cm³-t?
- A) Egy.
- B) Kettő.
- C) Három.
3. Miért nem jó a 17,071 cm-es algebrai gyök?
- A) Mert a kivágás nem egész számú centiméter.
- B) Mert minden harmadfokú egyenletnek egy gyöke van.
- C) A számolt alapélek negatívak.
Megoldások és indoklás
- 1. A: A 20 − 2x rövidebb alapélnek pozitívnak kell maradnia.
- 2. B: Az 5 cm és a 10 − √50 cm a megengedett tartományban van; a harmadik gyök kívül esik rajta.
- 3. C: Az eredeti lap méretei és a kivágás között geometriai korlát van, amelyet a polinomegyenlet önmagában nem érvényesít.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Rajzold fel a kivágott lapot, és írd fel a három dobozméretet. A pozitivitási feltétellel kezdd a megoldásokat.
- 2 pont: A gyökök és a doboz kapcsolata világos. A második megfelelő méret visszahelyettesítését ellenőrizd újra.
- 3 pont: Az algebrai és geometriai ellenőrzést is elvégzed. Saját tervnél következőként a térfogat mellett a szükséges belső oldalméreteket rögzítsd.
