Két mennyiség együtt változik: vajon mennyire követik egymást? A Pearson-féle korrelációs együttható a lineáris együttmozgás előjelét és erősségét foglalja össze. Értéke −1 és +1 közé esik. Pozitív érték mellett a nagyobb x értékekhez általában nagyobb y értékek társulnak, negatívnál fordított irányú a kapcsolat.
A szám egy adott párosított adatsorra vonatkozik. A párok felcserélése, hiányzó sorok eltérő elhagyása vagy az időpontok elcsúsztatása megváltoztathatja az eredményt. Ezért a számolás első lépése az adatok összeillesztésének ellenőrzése.
Számítás négy hipotetikus mérésből
Egy oktatási kísérletben x értékei 1, 2, 3, 4; a hozzájuk tartozó y értékek 2, 3, 5, 4. Az x átlaga 2,5, az y átlaga 3,5. Készítsük el az átlagtól való eltéréseket.
| x | y | x eltérése | y eltérése |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | −1,5 | −1,5 |
| 2 | 3 | −0,5 | −0,5 |
| 3 | 5 | +0,5 | +1,5 |
| 4 | 4 | +1,5 | +0,5 |
Az x-eltérések négyzetösszege Sxx = 5, az y-eltéréseké Syy = 5. A páronkénti szorzatok összege Sxy = 2,25 + 0,25 + 0,75 + 0,75 = 4.
r = Sxy / √(Sxx × Syy) = 4 / √25 = 0,8.
Az eredmény pozitív lineáris kapcsolatot jelez ebben a négy adatpárban. A kis mintából még óvatosan következtess a folyamat egészére. A 0,8 önmagában sem mérési pontosságot, sem 80%-os előrejelzési sikerarányt nem jelent.
Mi történik az egységek megváltoztatásakor?
Ha az összes x értéket 100-zal szorzod, a korreláció változatlan marad. Az x-eltérések ugyanilyen arányban változnak, és a számláló, valamint a nevező együtt skálázódik. Ugyanez igaz, ha minden y értékhez egy állandót adsz.
Ettől a regressziós egyenes meredeksége még megváltozhat. A korreláció egység nélküli, az egyenes meredeksége viszont a két változó mértékegységeit hordozza. Negatív számmal való szorzás megfordítja a korreláció előjelét. Teljesen állandó x vagy y esetén a nevező nulla, így a szokásos Pearson-együttható nem értelmezhető.
Nulla korreláció mellett is lehet kapcsolat
Második hipotetikus adatsorunkban x = −2, −1, 0, 1, 2, és minden pontnál y = x². Így y = 4, 1, 0, 1, 4. Az x átlaga nulla, az y átlaga 2. A keresztszorzatok összege −4 + 1 + 0 − 1 + 4 = 0, ezért r = 0.
Mégis pontos összefüggés köti össze a két változót: az y az x négyzete. A Pearson-mutató a görbült, szimmetrikus kapcsolatot ebben az adatsorban nem jellemzi jól. A szórásdiagram megmutatja a mintázatot. A nulla eredményből általános függetlenséget kijelenteni ezért hibás lenne.
Hogyan használd a következtetést?
A korrelációhoz mindig rajzold fel a pontokat. Egy kiugró adat vagy két elkülönülő csoport erősen alakíthatja az eredményt. Idősorokban közös növekvő trend is létrehozhat nagy korrelációt, még ha a rövid távú változások kevéssé kapcsolódnak.
Oksági magyarázathoz külön kutatási terv, időbeli logika és a lehetséges közös okok vizsgálata kell. A korrelációból nem következik, hogy az egyik mennyiség megváltoztatásával a másik biztosan a kívánt irányba mozdul.
A grafikus számológép segít a részösszegek és a hányados ellenőrzésében. Az eredményhez őrizd meg a párosított adatsort és a pontábrát is. Így később visszakövethető, milyen kapcsolatot foglal össze az egyetlen szám.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Mennyi a négy adatpár korrelációja?
- A) 0,4
- B) 0,8
- C) 1,25
2. Mi történik, ha minden x értéket pozitív 100-zal szorzunk?
- A) A korreláció változatlan marad.
- B) Százszoros lesz.
- C) Az előjele megfordul.
3. Mit bizonyít az x²-példa nulla korrelációja?
- A) Az adatpárok függetlenek.
- B) Nincs semmilyen kapcsolat.
- C) A lineáris mutató nem írja le a görbült kapcsolatot.
Megoldások és indoklás
- 1. B: A számláló 4, a nevező √(5 × 5) = 5, így r = 0,8.
- 2. A: A pozitív egységváltás a számlálót és a nevezőt azonos arányban módosítja.
- 3. C: Az y pontosan meghatározható x-ből, miközben a szimmetrikus adatsor Pearson-együtthatója nulla.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Kezdd az átlagok és az eltérések kiszámításával. Utána rajzold fel mindkét példát, hogy a lineáris és görbült mintázat külön látható legyen.
- 2 pont: A korreláció képletét és alapjelentését érted. Nézd át, mely következtetéshez kell a pontábra vagy külön oksági bizonyíték.
- 3 pont: Jól különíted el a lineáris együttmozgást az általános kapcsolattól. Saját adatoknál következőként a kiugró pontok és a csoportok hatását vizsgáld.
