Egy számláló átlagosan óránként két eseményt rögzít. Ebből még nem következik, hogy minden félórában pontosan egy esemény lesz. A Poisson-eloszlás egy rögzített idő- vagy térbeli intervallum eseményszámának valószínűségeit írja le megfelelő függetlenségi és intenzitási feltételek mellett.
A modell jól használható kiinduló számításként, ha az események különállók, az átlagos intenzitás a vizsgált idő alatt állandónak tekinthető, és az egymást nem átfedő időszakaszok számlálásai függetlenek. A tényleges folyamatot ettől még össze kell vetni a feltételezésekkel.
Az intenzitást igazítsd az időablakhoz
Hipotetikus laboratóriumi példánkban egy jelérzékelő hosszabb megfigyelés alapján óránként átlagosan két impulzust észlel. Az oktatási modellben ezt r = 2/óra intenzitásnak tekintjük.
Félórás időablakhoz a várható darabszám λ = r × t = 2 × 0,5 = 1. Kétórás ablakhoz λ = 4. A λ már dimenzió nélküli várható darabszám. A 30 percet közvetlenül a 2/óra értékkel összeszorozva hatvanszoros hibát kapnánk, ezért az időegységet előbb egyeztesd.
A pontosan k esemény valószínűsége:
P(X = k) = exp(−λ) × λ^k / k!
A k nemnegatív egész, a k! faktoriális. A 0! értéke 1. Az exp(−λ) az e alapú exponenciális függvény, nem tízes alapú hatvány.
Mi fér egy félórás megfigyelésbe?
A λ = 1 esetben a nulla esemény esélye exp(−1) ≈ 36,788%. Pontosan egy eseményre ugyanez az érték adódik. Pontosan kettőre exp(−1) / 2 ≈ 18,394% az esély.
| Félórás eseményszám | Valószínűség |
|---|---|
| 0 | 36,788% |
| 1 | 36,788% |
| 2 | 18,394% |
| Legalább 3 | 8,030% |
Az utolsó sor a maradék: 1 − [P(0) + P(1) + P(2)]. A négy sor együtt az összes lehetőséget lefedi. Ez jó ellenőrzés, mert a valószínűségek összegének a kerekítés mellett is körülbelül 100%-nak kell lennie.
A legalább egy esemény esélye 1 − exp(−1) ≈ 63,212%. Így az „átlagosan egy” állítás mellett több mint egyharmados az üres félóra esélye. A darabszám hosszabb távú átlaga és az egyes ablakok tartalma külön kérdés.
Kétórás ablak: más esélyek
Második hipotetikus forgatókönyvünk ugyanazt az érzékelőt két órán át figyeli. Most λ = 4. A teljesen eseménymentes két óra esélye exp(−4) ≈ 1,832%. Legalább egy eseményre ennek kiegészítése, 98,168% adódik.
Az óránkénti átlag változatlan. A hosszabb megfigyelés miatt változott a várható darabszám és az eloszlás. Ezért két, eltérő hosszúságú mérési sor eseményszámait nyers darabszám alapján összehasonlítani félrevezető lehet.
Mikor gyanús a Poisson-feltételezés?
Ha az események csoportosan érkeznek, közös zavar okozza őket, vagy a detektor egy észlelés után rövid ideig érzéketlen, a függetlenség sérülhet. Ha a nappali és éjszakai intenzitás eltér, az egyetlen napi átlag elfedheti a változást.
A Poisson-modellben a variancia megegyezik a várható értékkel. Ez támpont az adatok ellenőrzésére, de rövid mérési soron a mintaátlag és a mintavariancia természetes ingadozása miatt nem várható pontos egyezés. A λ becslésének bizonytalanságát külön kell kezelni; a táblázat most ismertnek vett intenzitásra szól.
A grafikus számológép az exponenciális tag és a részösszegek ellenőrzéséhez ad segítséget. A mérési jegyzetben mindig szerepeljen az időablak hossza, az intenzitás forrása és az, hogy pontosan, legfeljebb vagy legalább hány eseményt keresel.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Mennyi λ fél óra alatt, ha r = 2/óra?
- A) 1
- B) 2
- C) 60
2. Az átlagosan egy eseményes ablak biztosan tartalmaz eseményt?
- A) Igen, pontosan egyet.
- B) Nem; az üres ablak esélye körülbelül 36,8%.
- C) Az üres ablak esélye pontosan 50%.
3. Melyik körülmény sértheti a használt egyszerű modellt?
- A) Az idő percekben szerepel, de átváltjuk.
- B) A valószínűség tizedes törtként jelenik meg.
- C) Az események közös zavar miatt csomókban érkeznek.
Megoldások és indoklás
- 1. A: Az órában megadott 0,5 időt szorozzuk a 2/óra intenzitással.
- 2. B: A Poisson-eloszlás várható értéke 1, de a nulla kimenet valószínűsége exp(−1).
- 3. C: A csoportosulás függést és a Poisson-modelltől eltérő ingadozást hozhat létre.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Az óránkénti intenzitásból először képezd az adott ablak λ értékét. Utána külön számold ki a nulla és a pontosan egy esemény esélyét.
- 2 pont: Az időablak és az esély kapcsolatát érted. A modell feltételeit vagy a pontosan/ legalább megkülönböztetést ellenőrizd újra.
- 3 pont: Helyesen használod az eseményszám-modellt. Következőként nézd meg a saját mérésben az időbeli csoportosulást és az intenzitás változását.
