Két közös kezdőpontból induló térbeli vektor egy paralelogrammát feszít ki. Területének meghatározásához használható a vektoriális szorzat, más néven keresztszorzat. Az eredmény új vektor: iránya merőleges az eredeti kettőre, hossza pedig a kifeszített paralelogramma területét adja, ha a bemeneti vektorok hosszakat képviselnek.
A skaláris szorzat és a keresztszorzat eltérő műveletek. Ennél a feladatnál három koordinátából három új komponenst számolunk, majd ezekből képezzük a hosszt. A vektorok sorrendje az eredmény irányát befolyásolja.
Komponensenkénti képlet
Legyen a = (ax, ay, az) és b = (bx, by, bz). Jobbsodrású derékszögű koordinátarendszerben:
a × b = (ay·bz − az·by; az·bx − ax·bz; ax·by − ay·bx).
A három komponensből az eredmény hossza a komponensek négyzetösszegének négyzetgyöke. A paralelogramma területe ez a hossz, a két vektor által határolt háromszögé pedig ennek fele.
Hosszvektoroknál minden bemeneti koordinátát azonos egységben adj meg. Méteres koordinátákból négyzetméteres keresztszorzat-komponensek és terület keletkezik. Erő és helyvektor szorzatánál viszont más fizikai mennyiség, például forgatónyomaték adódhat; az egység ilyenkor a bemeneteknek megfelelő.
Egyszerű hipotetikus geometriai példa
Egy síkbeli alakzat két oldalvektora a = (3, 0, 0) m és b = (1, 2, 0) m. A számítás:
- x komponens: 0 × 0 − 0 × 2 = 0 m².
- y komponens: 0 × 1 − 3 × 0 = 0 m².
- z komponens: 3 × 2 − 0 × 1 = 6 m².
Az eredmény (0, 0, 6) m². A paralelogramma területe 6 m², a háromszögé 3 m². Geometriailag is ellenőrizhető: a 3 m-es alaphoz tartozó magasság 2 m. A b vektor 1 m-es vízszintes komponense eltolja a felső oldalt, a magasságot változatlanul hagyja.
Ha felcseréljük a két bemeneti vektort, (0, 0, −6) m² lesz az eredmény. A terület továbbra is pozitív 6 m². A mínuszjel az orientációt jelzi.
Valóban térbeli eset
Második hipotetikus példánkban a = (1, 2, 0) m, b = (0, 1, 3) m. A keresztszorzat (6, −3, 1) m². Hossza √(36 + 9 + 1) = √46 ≈ 6,782 m². A hozzá tartozó háromszög területe körülbelül 3,391 m².
Az irányt külön is ellenőrizhetjük. Az eredmény skaláris szorzata az a vektorral 6 × 1 − 3 × 2 + 1 × 0 = 0. A b vektorral 6 × 0 − 3 × 1 + 1 × 3 = 0. Mindkettő nulla, tehát az eredmény valóban merőleges a két oldalvektorra.
Milyen határeseteket érdemes kipróbálni?
Párhuzamos vektorok keresztszorzata nulla, ezért az általuk kifeszített terület is nulla. A nullvektorral végzett keresztszorzat szintén nulla; ebből önálló síkirányt nem lehet kijelölni. Közel párhuzamos, mérésből származó vektoroknál a kis területre a koordináták hibája arányaiban erősen hathat.
Gyakori hiba a középső komponens előjele vagy a háromszög területének kétszerese. A komponensszámítás után ezért ellenőrizd a merőlegességet és azt, hogy háromszöget vagy paralelogrammát keresel. A vektorkalkulátor kapcsolódó vektoros feladatokhoz, a grafikus számológép a komponensek kézi részszámításaihoz használható.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Mekkora az első példában a háromszög területe?
- A) 3 m²
- B) 6 m²
- C) 12 m²
2. Mi változik a két vektor felcserélésekor?
- A) A terület kétszeres lesz.
- B) A keresztszorzat iránya megfordul.
- C) A terület nullává válik.
3. Mit ellenőriz a két nulla skaláris szorzat a második példában?
- A) A vektorok hossza azonos.
- B) A háromszög szabályos.
- C) A keresztszorzat merőleges mindkét bemenetre.
Megoldások és indoklás
- 1. A: A keresztszorzat hossza a paralelogramma 6 m²-es területe, a háromszög ennek fele.
- 2. B: b × a = −(a × b); a hossz és így a terület változatlan.
- 3. C: A nulla skaláris szorzat a merőlegesség feltétele a nem nulla vektoroknál.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Írd fel a három komponensképletet, majd számold újra a síkbeli példát. Külön jelöld a paralelogramma és a háromszög területét.
- 2 pont: A keresztszorzat jelentését érted. A sorrend vagy a félterület szerepét ellenőrizd újra.
- 3 pont: A területet és az irányt is jól kezeled. Következőként egy párhuzamos vektorpárral és a merőlegességi ellenőrzéssel próbáld ki a módszert.
