Egy mérőrendszer kijelzése fokozatosan csökken, de a nulla közelébe sem jut el. Ilyenkor érdemes megvizsgálni, hogy a kijelzett mennyiség tartalmaz-e állandó háttérjelet. Az exponenciális összetevő arányát a háttér levonása után lehet következetesen értelmezni.
A következő példa kitalált, dimenzió nélküli jelértékekkel dolgozik. Nem kapcsolódik konkrét veszélyes anyaghoz, egészségügyi vizsgálathoz vagy eszközminősítéshez. Az állandó hátteret és a tízperces feleződési időt a feladat feltételeként ismerjük; valódi mérésnél ezek is ellenőrzendő adatok.
Válaszd szét az állandó és a változó részt
A modell legyen S(t) = B + A × 2^(−t/H), ahol B az állandó háttér, A a kezdeti nettó jel, H a feleződési idő. A kezdeti kijelzés 1050, a külön meghatározott háttér 50, ezért A = 1050 − 50 = 1000.
Egy későbbi időpontban 300 a kijelzés. Ebből a nettó jel 300 − 50 = 250. A kezdeti nettó 1000-hez képest ez negyedrész, tehát két feleződésnek felel meg.
Ha a nettó jel feleződési ideje 10 perc, akkor az eltelt idő 20 perc. Visszaellenőrizve: 50 + 1000 × 2^(−20/10) = 50 + 250 = 300. Mind a háttér, mind a változó rész szerepel a visszahelyettesítésben.
A nyers kijelzések aránya mást ad
A háttér elhagyásával a tévesen használt arány 300/1050 = 2/7 lenne. Ebből a tízperces feleződési idővel t = 10 × ln(1050/300)/ln(2) ≈ 18,07 perc adódik.
Ez közel 1,93 perccel rövidebb a modell szerinti 20 percnél. A logaritmusszámításban nincs számtani hiba: a problémát az okozza, hogy a teljes kijelzést a csökkenő összetevővel azonosítottuk.
Az exponenciális egyenlet kalkulátorban a nettó mennyiségeket és az időegységet kell összehangolni. A szeparálható egyenletek OpenStax-fejezete az exponenciális modellek matematikai hátterét tárgyalja; az állandó háttérrel kiegészített jelen példa saját levezetés.
A következő mérésre is adj ellenőrizhető becslést
A 30. percben három feleződés telt el. A nettó jel 1000/8 = 125, a várható kijelzés pedig 50 + 125 = 175. A 40. percben a nettó jel 62,5, a teljes kijelzés 112,5.
A 300-as kijelzést egyszerűen megfelezve 150-et kapnánk, pedig tíz perccel később 175 várható. Az állandó 50-es háttér nem feleződik a változó résszel együtt. A grafikus számológépben ezért a görbe vízszintes határértéke is jól elkülöníthető a nulla szinttől.
A mérési naplóban külön oszlopba kerülhet az idő, a nyers kijelzés, a háttér, a nettó érték és a modellbecslés. Ezzel az összesítésből később is visszakereshető, miből származott az időbecslés.
A háttér közelében óvatosan értelmezz
Ha a kijelzés pontosan a háttérrel egyezik, a nettó érték nulla. A pozitív exponenciális modell ezt véges időben nem éri el, ezért a logaritmikus visszaszámítás nem ad értelmes véges időt. A háttér alatti mérés negatív nettó jelet adna, amely ugyancsak kívül esik ezen a modellen.
Ez lehet mérési ingadozás vagy hibás háttérfeltételezés jele. A kis nettó értékhez képest ugyanakkora abszolút háttérhiba nagyobb relatív eltérést okoz. A negatív eredményt önkényesen nullára cserélni és abból időt számolni elfedné a problémát.
Gyakori kérdések
A háttér mindig állandó?
A példában ez feltevés. Ha a mérőrendszer alapjele időben változik, külön háttérmodell vagy ismételt háttérmérés szükséges.
Miért nem feleződik a kijelzett 300-as érték?
Mert abból 50 állandó háttér, 250 pedig változó jel. Tíz perc múlva 50 + 125 = 175 várható.
Két teljes jelértékből minden paraméter meghatározható?
Általában nem, ha a háttér, a kezdeti nettó jel és a feleződési idő is ismeretlen. További adat vagy előzetesen igazolt paraméter szükséges.