Egy meleg test hőmérséklete két mérési időpontban ismert. Ebből gyakran szeretnénk megbecsülni, mikor kerül egy megadott hőmérséklet közelébe. A két pontot követő görbe azonban önmagában még nem igazolja, hogy a test később is ugyanúgy viselkedik.
A következő saját számpélda állandó környezeti hőmérsékletet, közel egyenletes belső hőmérsékletet és változatlan hőátadási körülményeket feltételez. Fázisváltozás és belső hőtermelés nincs. A modell oktatási célú; élelmiszer-biztonsági, egészségügyi vagy üzemi határidőt nem határoz meg.
A környezethez mért különbséget felezd
Legyen a környezet 20 °C, a test kezdeti hőmérséklete 80 °C. Tizenkét perccel később 50 °C-ot mérünk. A környezet feletti hőmérséklet-különbség így 60 °C-ról 30 °C-ra csökken: a különbség feleződött.
A Newton-féle hűlés egyszerű alakja T(t) = Tₖ + (T₀ − Tₖ) × e^(−kt). Ebből a hűlési állandó k = ln(60/30)/12 = ln(2)/12 ≈ 0,05776 perc⁻¹. A percenkénti egység fontos, mert a mérési időt percben adtuk meg.
Az OpenStax differenciálegyenleti fejezete tárgyalja a hőmérséklet-különbséggel arányos hűlési modellt. A fenti mérési adatok és az alábbi előrejelzések saját szemléltető számítások.
Számold ki a következő ellenőrzőpontot
Változatlan k mellett újabb tizenkét perc után a környezet feletti különbség ismét feleződik. A 24. percben így 20 + 15 = 35 °C a becslés. A 36. percben 27,5 °C, a 48. percben 23,75 °C adódik.
A teljes Celsius-hőmérséklet tehát nem feleződik tizenkét percenként. A 80, 50, 35, 27,5 sorozatban mindig a 20 °C-os környezethez képesti eltérés változik azonos arányban. Ez a különbség a grafikon értelmezésénél is lényeges.
A Newton-hűlés kalkulátorban az azonos egységű időt, környezetet és mérést használd. A k paramétert önmagában más méretű testre vagy más légáramlásra átvinni külön indoklást igényel.
Mikor érjük el a 25 °C-ot?
A célhőmérséklet a környezetnél 5 °C-kal magasabb. A kezdeti 60 fokos különbségnek tehát az egy tizenketted részére kell csökkennie. A szükséges idő t = ln(60/5)/k ≈ 43,02 perc.
Ez összhangban áll a 36. és a 48. percre számolt értékekkel: a cél közéjük esik. Pontosan 20 °C-ot az ideális exponenciális modell csak határértékként közelít. A környezet alatti célhőmérséklet ebben a hűlési helyzetben nem érhető el.
A közeli célokra kapott idő különösen érzékeny lehet a mérésekre. Ha a tizenkettedik percben 50 helyett 52 °C-ot mérnénk, az illesztett k kisebb lenne, és a 25 °C elérésére 47,44 perc adódna. Ez körülbelül 4,42 perc eltérés két fok mérési különbségből.
A harmadik mérés ne maradjon ki
Tegyük fel, hogy a 24. percben a várt 35 °C helyett 42 °C-ot mérünk. A +7 °C-os eltérés már külön ellenőrizendő jel: változhatott a környezet, a hőátadás, a mérés helye vagy a test belső hőmérséklet-eloszlása.
Ettől még nem tudjuk egyetlen adatból megmondani, melyik feltételezés hibás. A grafikus számológépben az illesztett görbe mellé az összes mérési pontot érdemes felvenni. A két illesztési pontra tökéletes egyezés várható; a külön megfigyeléseknek van ellenőrző szerepük.
Gyakori kérdések
A k állandó az anyag rögzített tulajdonsága?
Ebben az egyszerű modellben a test, a környezet és a hőátadás együttes viselkedését foglalja össze. Más méret vagy légáramlás más értéket eredményezhet.
Miért hibás a 80 °C egyszerű felezése?
A feleződés a környezethez képesti különbségre vonatkozik. A példában a 60 °C-os eltérés feleződik, ezért a következő érték 50 °C.
A harmadik mérési eltérés bizonyítja a mérő hibáját?
Önmagában nem. A mérési bizonytalanságot és a modell feltételeinek változását egyaránt vizsgálni kell.