Azonos összetételű, maradék nélkül elkészíthető csomagok legnagyobb számát az alapanyagok darabszámainak legnagyobb közös osztója, röviden LNKO-ja adja. A csomagokban lévő egyes darabszámokat ezután külön osztással kapod meg. A közös osztó ebben a feladatban a csomagok számát jelenti.
Ez akkor jó modell, ha minden tárgyat felhasználsz, minden csomagba ugyanannyi kerül az egyes fajtákból, és a tárgyakat egész darabokként osztod szét. Eltérő csomagtípusok vagy megengedett maradék esetén további feltételeket kell megadni.
Három készletből egy közös csomagszám
Saját szemléltető példánkban 72 ceruza, 120 radír és 168 matrica áll rendelkezésre. A legnagyobb közös osztót először a 72 és 120 között keressük. Maradékos osztással:
- 120 = 1 × 72 + 48;
- 72 = 1 × 48 + 24;
- 48 = 2 × 24 + 0.
Az utolsó nem nulla maradék 24, tehát LNKO(72, 120) = 24. A harmadik készlet 168 darabos, és 168 / 24 = 7 egész szám. Így mindhárom mennyiség közös osztója 24 marad. A maradékos eljárás az euklideszi algoritmus, amelynek leírását a NIST algoritmustára is közli.
Összesen 24 azonos csomag készülhet. Egy csomagba 72 / 24 = 3 ceruza, 120 / 24 = 5 radír és 168 / 24 = 7 matrica kerül. Ez csomagonként 15 tárgy. A visszaellenőrzés 24 × 3 = 72, 24 × 5 = 120 és 24 × 7 = 168; mindhárom készlet pontosan elfogy.
Miért ez a legnagyobb darabszám?
A prímtényezős felbontás másik nézőpontot ad. A 72 = 2³ × 3², a 120 = 2³ × 3 × 5, a 168 = 2³ × 3 × 7. Mindháromban közös a 2³ és a 3, ezért a szorzatuk 8 × 3 = 24. Az 5 és a 7 csak egy-egy készletben jelenik meg, így egyik sem növelheti a közös csomagszámot.
A közös tényezőkről szóló OpenStax-fejezet a tényezőkre bontás matematikai hátterét mutatja be. A csomagolási feladat gyakorlati feltételeit neked kell hozzátenned: például azt, hogy három ceruza valóban megfelelő-e egy csomagban.
Ha kevesebb, nagyobb csomagot szeretnél, választhatsz olyan kisebb csomagszámot, amely minden készletet oszt. A példában 12 csomag esetén 6 ceruza, 10 radír és 14 matrica kerül egy csomagba. Nyolc csomagnál 9, 15 és 21 darab az összetétel. Mindkét választás maradékmentes, bár az LNKO által megadott maximumnál kevesebb csomag készül.
A fix csomagszám külön ellenőrzés
Ha előre 30 résztvevőre kell készülni, az LNKO 24-es eredménye azt jelzi, hogy a jelenlegi készletből a kért módon nem készül 30 azonos csomag. A 72 / 30 = 2,4 ceruza már önmagában mutatja a problémát: egész tárgyak esetén ez az összetétel nem használható.
Ilyenkor új feladatot fogalmazz meg. Dönthetsz például csomagonként 2 ceruza, 4 radír és 5 matrica mellett. Harminc csomaghoz így 60, 120 és 150 darab kell, és 12 ceruza, valamint 18 matrica marad. Ez már tudatosan megengedett maradékkal dolgozó terv.
A LNKO-kalkulátorban legfeljebb 12 egész számot adhatsz meg, szóközzel vagy pontosvesszővel elválasztva. A csomagolási példához pozitív darabszámokat használj. Ha egy tárgyból nulla van, előbb döntsd el, kötelező-e egyáltalán a csomagban szerepelnie. A matematikai nullakezelés ezt a tartalmi kérdést nem oldja meg.
Az ellenőrzés végén szorozd vissza minden csomagtípus darabszámát a csomagok számával. Így külön is látható, hogy valóban az összes készletet felhasználtad-e, és a kiszámolt összetétel teljesíti-e a gyakorlati célt.