Számtani sorozatnál mindig ugyanannyit adsz az előző taghoz. Mértani sorozatnál mindig ugyanazzal a számmal szorzod az előző tagot. A választást a feladatban leírt változási szabály dönti el. Az utolsó tag és az összes tag összege pedig két külön eredmény, eltérő kérdésre adnak választ.
Egy mérési vagy termelési adatsor néhány kezdeti értéke még nem bizonyítja, hogy a későbbi értékek is ezt a szabályt követik. A következő példák előre rögzített matematikai tervek. Valós teljesítményre vonatkozó előrejelzést külön indoklás nélkül nem adnak.
Naponta azonos többlet
Egy szemléltető terv első napi anyagigénye 120 kg, és minden következő napon 15 kg-mal több. A nyolcadik napi igényt és a nyolc nap együttes mennyiségét keressük.
Az első tag a₁ = 120 kg, a differencia d = 15 kg, a sorszám n = 8. A nyolcadik napig hét növelés történik, ezért a₈ = 120 + (8 − 1) × 15 = 225 kg.
A teljes sor 120; 135; 150; 165; 180; 195; 210; 225 kg. Az első és az utolsó tag összege 345 kg, ugyanennyi a második és az utolsó előtti tag összege. Négy ilyen pár van, így a teljes mennyiség 4 × 345 = 1380 kg.
Az általános képletek aₙ = a₁ + (n − 1)d és Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. A számtani sorozat definícióját az OpenStax, az összegképletet a sorokról szóló fejezet vezeti le.
A 225 kg a nyolcadik nap mennyisége. Az egész időszak anyagbeszerzését a 1380 kg alapján tudod vizsgálni, ha az induló készletet és a többi feltételt külön figyelembe veszed.
Naponta azonos százalék
Változtassuk meg a szabályt: induljunk ugyanúgy 120 kg-ról, de minden következő napi érték az előzőnél 10%-kal nagyobb legyen. A szorzó q = 1 + 10/100 = 1,10. Az első négy tag 120; 132; 145,2; 159,72 kg. A többletek 12; 13,2; 14,52 kg, tehát különböznek.
A nyolcadik tag a₈ = 120 × 1,10⁷ = 233,846052 kg, kerekítve 233,85 kg. A véges összeg q ≠ 1 esetén Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Így S₈ = 120 × (1,10⁸ − 1)/0,10 = 1372,306572 kg, vagyis 1372,31 kg.
A százalékos változást tehát hétszer alkalmazzuk a nyolcadik taghoz, az összegképletben viszont a nyolcadik hatvány szerepel. A mértani sorozat kifejtett alakja megmutatja ezt az indexelést. A nagyobb utolsó tag ebben a példában kisebb teljes összeggel jár együtt, mert a kezdeti napok mennyiségei alacsonyabbak.
Az index és a kerekítés eldöntendő kérdés
Ha a feladat az induló állapot utáni nyolc növelést kéri, az a₁ jelölés mellett a kilencedik tagot keresed. Írd le az első két állapotot, így láthatóvá válik, mit számozol. Az n itt pozitív egész darabszám.
A q = 1 esetben minden tag azonos, az összeg n × a₁. A törtalak ilyenkor 0/0-t adna, ezért külön képlet kell. Csökkenő mértani sorozatnál például 10%-os fogyáshoz q = 0,90 tartozik; a −0,10 szorzó váltakozó előjeleket eredményezne.
A sorozatkalkulátorban válaszd ki a típust, majd add meg az első tagot, a differenciát vagy hányadost és n értékét. A példákban csak a végén kerekítettünk. Ha minden napi mennyiséget kötelező egész kilogrammra kerekíteni, az így módosított napi értékeket külön kell összeadni: az eredeti összegképlet a kerekítés előtti sorozatra vonatkozik.