Egy háromszög két oldala és egy szöge elsőre elegendő adatnak tűnik. Az eredmény azonban attól függ, hol helyezkedik el az ismert szög. Ha az egyik megadott oldallal szemközti szöget ismerjük, előfordulhat, hogy két különböző háromszög is megfelel ugyanannak az adatsornak.
Ezt szokták SSA-esetnek nevezni: két oldal és egy olyan szög ismert, amely nem a két megadott oldal közé esik. A számológép által visszaadott első szög ezért csak az egyik jelölt. A háromszög létezési feltételeit külön kell ellenőrizni.
Jelölések és a szinusztétel
Az a oldallal szemben legyen A szög, a b oldallal szemben B, a c oldallal szemben C. A szinusztétel szerint a / sin A = b / sin B = c / sin C. Ebből az ismeretlen B szög szinusza:
sin B = b × sin A / a.
A számolásnál a két oldal egysége azonos legyen. A hányadosból az egységek kiesnek. Fokban megadott szögekhez fokbeállítás szükséges; radiános számológépben előbb át kell váltani.
Hipotetikus példa két megoldással
Legyen a = 7 cm, b = 10 cm és A = 30°. Ekkor sin B = 10 × 0,5 / 7 = 5/7 ≈ 0,714286. Az inverz szinusz első értéke B1 ≈ 45,585°.
A szinusz a 0° és 180° közötti tartományban két, egymást 180°-ra kiegészítő szögnél azonos lehet. Ezért a másik jelölt B2 = 180° − B1 ≈ 134,415°.
Mindkettőhöz ellenőrizzük a harmadik szöget:
- Első eset: C1 = 180° − 30° − 45,585° ≈ 104,415°.
- Második eset: C2 = 180° − 30° − 134,415° ≈ 15,585°.
Mindkettő pozitív, így valóban két háromszög lehetséges. A harmadik oldalak c = a × sin C / sin A alapján adódnak: c1 ≈ 13,559 cm, illetve c2 ≈ 3,761 cm.
| Megoldás | B szög | C szög | c oldal |
|---|---|---|---|
| 1. | 45,585° | 104,415° | 13,559 cm |
| 2. | 134,415° | 15,585° | 3,761 cm |
A két alakzat mérete és formája eltér, miközben a három kezdeti adat megegyezik. Egy további, megfelelő mérés eldöntheti, melyik írja le a valós alakzatot.
Amikor egyetlen megoldás sincs
Második hipotetikus adatsorunkban A továbbra is 30°, b = 10 cm, de a = 4 cm. A képlet sin B = 10 × 0,5 / 4 = 1,25 értéket ad. Valós szög szinusza nem lehet 1-nél nagyobb, ezért ilyen háromszög nincs.
A számológép hibajelzése itt a geometriai ellentmondásra mutat. Az értéket 1-re kerekíteni hibás javítás lenne. Ellenőrizni kell a bemeneti oldalt, a szemközti szöget és a mértékegységet.
A határeset a = 5 cm mellett adódik: sin B = 1, így B = 90° és C = 60°. A két korábbi szögjelölt ekkor egybeesik; egyetlen derékszögű háromszög marad.
A megoldási lista ellenőrzése
Minden kapott B értéknél számold ki a C szöget. A nulla vagy negatív C nem ad valódi háromszöget. A kiszámított oldalakkal a háromszög-egyenlőtlenség is ellenőrizhető. Kerekítést a végén alkalmazz, különösen a határesetek közelében.
Mért adatoknál egy közel 1-es szinuszérték bizonytalansága megváltoztathatja, hogy nulla, egy vagy két megoldás fogadható el. A bizonytalan bemenetből kapott egyetlen sokjegyű szöget ezért ne kezeld teljesen biztos geometriai eredményként.
A háromszög-kalkulátor kapcsolódó ellenőrzéshez, a grafikus számológép a szinuszértékek és szögjelöltek kiszámításához használható. A jegyzetben mindkét megengedett megoldást őrizd meg, amíg további adat nem választ közöttük.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Melyik második szög adja ugyanazt a szinuszt, mint 45,585°?
- A) 90°
- B) 134,415°
- C) 225,585°
2. Mit jelent a sin B = 1,25 eredmény?
- A) A megadott adatokból nincs valós háromszög.
- B) B = 125°.
- C) Két derékszögű háromszög van.
3. Melyik ellenőrzést kell minden B jelöltnél elvégezni?
- A) B mindig kisebb legyen A-nál.
- B) A két ismert oldal legyen azonos.
- C) A harmadik szög legyen pozitív.
Megoldások és indoklás
- 1. B: A háromszög 0–180° közötti tartományában a kiegészítő szög 180° − 45,585°.
- 2. A: A valós szinusz értéke legfeljebb 1 lehet.
- 3. C: A + B + C = 180°, és a valódi háromszög mindhárom szöge pozitív.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Párosítsd az oldalakat a szemközti szögekkel, majd számold ki a sin B értékét. Ezután ellenőrizd a kiegészítő szöget is.
- 2 pont: A két lehetséges szög gondolatát érted. Nézd át a harmadik szög és az 1-nél nagyobb szinusz esetét.
- 3 pont: A többmegoldásos esetet helyesen kezeled. Következőként egy a = 5 cm-es határesetet számolj végig kerekítés nélkül.
