Két nem nulla vektor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk nulla. Ugyanebből a műveletből a köztük lévő szög is kiszámítható, ha a két vektor hosszát is ismered. A koordináták előjeleit tartsd meg: az irányt éppen ezek hordozzák.
A skaláris szorzat eredménye egy szám. A szög és a vetület ebből további lépésekkel adódik, ezért egy nagyobb skaláris szorzat önmagában még nem jelent kisebb szöget. A vektorok hosszának változása ugyancsak módosítja a szorzatot.
Koordinátákból a bezárt szögig
Síkban u = (u₁; u₂) és v = (v₁; v₂) esetén u·v = u₁v₁ + u₂v₂. Három dimenzióban ehhez hozzáadódik u₃v₃. A hossz síkban |u| = √(u₁² + u₂²), a szög pedig cos α = (u·v) / (|u| × |v|) alapján határozható meg.
Ezek a szokásos, egymásra merőleges, azonos léptékű koordinátatengelyekre írt összefüggések. A skaláris szorzat OpenStax-leírása a geometriai és koordinátás kapcsolatot is bemutatja. Az alábbi vektorok saját szemléltető példák.
Legyen u = (3; 4), v = (4; 3). A skaláris szorzat 3 × 4 + 4 × 3 = 24. Mindkét vektor hossza √(3² + 4²) = 5. Így cos α = 24 / (5 × 5) = 0,96, amiből α ≈ 16,26°.
Az eredmény hegyesszög. A két vektor különböző, mégis közel azonos irányba mutat. Ha v helyett a kétszer akkora (8; 6) vektort választod, a skaláris szorzat 48, a második hossz 10 lesz. A hányados 48 / 50 továbbra is 0,96, így a szög változatlan marad.
Nulla szorzat két különböző helyzetben
Vegyük most az u = (2; 1) és v = (−1; 2) vektorokat. Szorzatuk 2 × (−1) + 1 × 2 = 0. Egyik sem nullvektor, ezért a nulla szorzat valóban 90°-os szöget igazol.
Ha viszont u = (0; 0), a szorzat bármely vektorral nulla. Itt a szögképlet nevezője is nulla lenne. A nullvektornak nincs meghatározott iránya, ezért a két vektor bezárt szögére ebben az esetben nem adható 90°-os eredmény. Ezért kell a merőlegességi megállapításnál a nem nulla feltételt is ellenőrizni.
Két nem nulla vektornál a pozitív szorzat 90°-nál kisebb, a negatív 90°-nál nagyobb szöget jelez a szokásos 0–180° tartományban. Az azonos vagy ellentétes irány ennek két szélső esete.
Mit ad a vetület?
Térjünk vissza az u = (3; 4), v = (4; 3) párhoz. A v vektor u irányú vetületének szorzója (v·u) / (u·u) = 24 / 25 = 0,96. Ezzel u-t megszorozva a vetületvektor (2,88; 3,84).
Az eredeti v és a vetület különbsége (4 − 2,88; 3 − 3,84) = (1,12; −0,84). Ennek u-val vett skaláris szorzata 3 × 1,12 + 4 × (−0,84) = 0. A maradék tehát merőleges u-ra, ami független ellenőrzése a vetítésnek.
A vektorkalkulátorban válaszd a két- vagy háromdimenziós módot, és azonos sorrendben add meg a koordinátákat. A szöget fokban olvasd le; külön számológépnél figyelj arra, hogy az arccos eredménye fok vagy radián szerint jelenik-e meg.
Ha pontokból indulsz, előbb képezd a vektort: A = (1; 1) és B = (4; 5) között az A-ból B-be mutató elmozdulás (3; 4). Különböző mértékegységű koordinátákat előbb egységesíts. Mért, kerekített adatokból nagyon kis szorzat adódhat nulla helyett; a mérési pontosság nélkül ezt ne értelmezd bizonyított geometriai eltérésként.