In einem illustrativen Beispiel reduzierst du den Preis eines Produkts, das 10 000 Forint kostet, um 20%. Der neue Preis beträgt 8 000 Forint. Wenn du diesen später um 20% erhöhst, erhältst du 9 600 Forint. Die Ursache der Abweichung liegt in der Basis der Prozentrechnung.
Suche immer den Ausgangswert
Bei der Reduzierung gingst du von 10 000 Forint aus. 20% davon sind 2 000 Forint. Bei der Erhöhung ist bereits 8 000 Forint die Basis, von der 20% 1 600 Forint sind.
Wie hoch muss die Erhöhung sein, um den ursprünglichen Preis wiederherzustellen?
Die fehlenden 2 000 Forint werden dem aktuellen Wert von 8 000 Forint gegenübergestellt: 2 000 / 8 000 × 100 = 25%. Die Reduzierung um 20% wird in diesem Beispiel also durch eine Erhöhung um 25% ausgeglichen.
Die Formel zur Wiederherstellung funktioniert auch bei anderen Prozentwerten
Bezeichne c als das Verhältnis der Reduzierung in Dezimalform: Bei 20% ist c = 0,20. Der neue Preis ist der ursprüngliche Preis × (1 − c), die Differenz ist der ursprüngliche Preis × c. Die erforderliche Erhöhung ist der Quotient aus der Differenz und dem neuen Preis:
Wiederherstellende Erhöhung in Prozent = c / (1 − c) × 100.
| Vorherige Reduzierung | Erforderliche Erhöhung vom reduzierten Wert |
|---|---|
| 10% | 11,11% |
| 20% | 25% |
| 40% | 66,67% |
| 60% | 150% |
Die Tabelle ist auf zwei Dezimalstellen gerundet; für eine exakte Wiederherstellung verwende das ungerundete Verhältnis. Wenn beispielsweise auf eine Reduzierung um 20% eine gleich hohe Erhöhung folgt, beträgt das Produkt der beiden Faktoren 0,8 × 1,2 = 0,96, weshalb 96% des ursprünglichen Werts übrig bleiben. Allgemein ist das Produkt aus gleich hoher Reduzierung und Erhöhung 1 − c².
Die Formel ist für positive Preise bei 0 ≤ c < 1 anwendbar. Nach einer Reduzierung um hundert Prozent ist der Preis null; diesen kannst du nicht durch prozentuale Multiplikation auf einen positiven Wert heben. In diesem Fall muss die Wiederherstellung als Forint-Betrag angegeben werden.
Welchen Wert möchtest du wiederherstellen?
Die Erhöhung um 25% ergibt wieder den ursprünglichen Betrag von 10 000 Ft. Ein anderes Ergebnis erhältst du, wenn sich in der Zwischenzeit auch der Warenkorb verteuert hat, den du von dem Betrag kaufen würdest. In einem separaten illustrativen Fall sank dein Geld von 10 000 auf 8000 Ft, während der Preis des verglichenen, unveränderten Warenkorbs um 10% stieg. Für die frühere Kaufkraft sind dann 11 000 Ft erforderlich.
Die von 8000 Ft aus erforderliche Steigerung beträgt 11 000/8000 − 1 = 37,5%. Wenn du den Betrag nur um 25% erhöhst, erhältst du 10 000 Ft zurück, aber auf dem neuen Preisniveau entspricht dies einer früheren Kaufkraft von 10 000/1,10 ≈ 9090,91 Ft.
Allgemein gilt bei einer vorherigen Reduzierung um das Verhältnis c und einer Warenkorbverteuerung um das Verhältnis i für die Wiederherstellung der früheren Kaufkraft eine Steigerung von (1 + i)/(1 − c) − 1. Beide Verhältnisse müssen sich auf denselben Start- und Endzeitraum beziehen. Die Verteuerung um 10% ist hier eine eigene Annahme; die Rolle des für den Realwert verwendeten Preisniveaus wird auch in der EZB-Analyse zu Löhnen und Kaufkraft behandelt.
Mehrere Rabatte nacheinander
Wenn ein Produkt, das 10 000 Forint kostet, zunächst 20% und anschließend weitere 10% Rabatt erhält, beträgt der Preis zuerst 8 000 und danach 7 200 Forint. Die gesamte Ersparnis beträgt 2 800 Forint, also 28% des ursprünglichen Preises.
Wann ist die Reihenfolge der Rabatte relevant?
Die Reihenfolge zweier prozentualer Faktoren ändert das Endergebnis ohne Zwischenrundung und bei unveränderten Berechtigungsbedingungen nicht. Wenn der Preis nach jedem Schritt gerundet wird oder ein Rabatt nur ab einem bestimmten Betrag gewährt wird, folgt die tatsächliche Abrechnung weiteren Regeln. Suche daher beim Angebot neben dem Prozentsatz auch nach dem Basisbetrag, der Berechtigungsgrenze und der Stelle der Rundung. Ein fester Forint-Gutschein bedeutet ebenfalls eine andere Operation. Im folgenden fiktiven Angebot gehören zu einem Preis von 10 000 Ft ein Rabatt von 20% und ein Gutschein über 1000 Ft:
- Erst 20%, dann der Gutschein: 10 000 × 0,8 − 1000 = 7000 Ft.
- Erst der Gutschein, dann 20%: (10 000 − 1000) × 0,8 = 7200 Ft.
Die Differenz von 200 Ft entspricht 20% des Gutscheins. Suche vor dem Kauf in den Angebotsbedingungen, ob der Prozentsatz auf den Betrag vor oder nach dem Gutschein angewendet wird und ob beide Rabatte kombiniert werden können. Der Rechner berechnet die angegebene Operation; die vertraglichen Bedingungen der Aktion überprüfe separat.
Wenn du als Verkäufer den Rabatt planst, zählt neben dem Endpreis auch der verbleibende Forint-Betrag. Der Leitfaden zu Marge und Gewinnspanne (auf Ungarisch) zeigt, wie viel Rabatt neben deinen Kosten möglich ist.
Welchen Rechner verwendest du?
- Öffne den Prozentrechner für einen bestimmten Prozentsatz eines Betrags.
- Wähle den Rechner für prozentuale Veränderung zum Vergleich von altem und neuem Wert.
- Verwende den Rabattrechner für aufeinanderfolgende Preisnachlässe.
Für die Berechnung der Änderungsrate ist der ursprüngliche Wert in diesem Beispiel positiv. Bei einem Basiswert von null ist die prozentuale Veränderung mit dieser Formel nicht interpretierbar.
Berechne die rückwärts ausgeführte Operation separat
Wenn du den Preis von 8000 Ft zunächst um 25% erhöhst, ergibt sich 10 000 Ft. Von hier führt eine Reduzierung um 20% zurück auf 8000 Ft. Allgemein gilt nach dieser positiven Steigerungsrate für die wiederherstellende Reduzierung e / (1 + e). Daher lohnt es sich, neben dem Angebot auch die aufeinanderfolgenden Forint-Werte zu speichern: Aus diesen lässt sich später der Prozentsatz in die richtige Richtung direkt überprüfen.
Abschließender Wissenstest
Markiere pro Frage eine Antwort. Jede richtige Antwort bringt 1 Punkt; eine falsche, ausgelassene oder mit mehreren Antworten markierte Frage bringt 0 Punkte. Insgesamt sind 0–3 Punkte erreichbar. Lies die Lösungen nach der Beantwortung.
Frage 1: Wie hoch muss die Erhöhung nach einer Reduzierung um fünfzig Prozent sein, um den ursprünglichen positiven Betrag wiederherzustellen?
- A) 50%.
- B) 75%.
- C) 100%.
Frage 2: Ein Preis erhält 30% und anschließend weitere 20% Rabatt. Wie hoch ist der Gesamtrabatt ohne Zwischenrundung?
- A) 50%.
- B) 44%.
- C) 6%.
Frage 3: Warum können fester Gutschein und prozentualer Rabatt in unterschiedlicher Reihenfolge zu abweichenden Ergebnissen führen?
- A) Der feste Gutschein ist in jeder Reihenfolge derselbe Prozentsatz.
- B) Zwei Rabatte müssen immer in Prozent addiert werden.
- C) Der Gutschein kann die Basis des Prozentsatzes ändern.
Lösungen und Erklärungen
- 1. C. Zum verbleibenden halben Betrag muss derselbe Betrag addiert werden: 0,5 / 0,5 = 1. Wenn du etwas anderes gewählt hast, sieh dir dies erneut an: die Wiederherstellung vom reduzierten Basiswert.
- 2. B. Der verbleibende Anteil ist 0,70 × 0,80 = 0,56, somit beträgt der Rabatt 44%. Wenn du etwas anderes gewählt hast, sieh dir dies erneut an: aufeinanderfolgende prozentuale Faktoren.
- 3. C. Das Beispiel im Artikel mit 10 000 Ft ergibt in den beiden Reihenfolgen Endwerte von 7000 und 7200 Ft. Wenn du etwas anderes gewählt hast, sieh dir dies erneut an: die Reihenfolge von festem Gutschein und prozentualem Rabatt.
Was bedeutet dein Ergebnis?
- 0 Punkte: Beginne mit dem grundlegenden Zusammenhang: die Wiederherstellung vom reduzierten Basiswert. Rechne das zugehörige Beispiel im Artikel durch.
- 1 Punkt: Kehre zur Erklärung der zwei falsch beantworteten Fragen zurück und notiere die entsprechenden Eingaben.
- 2 Punkte: Überprüfe beim Thema der ausgelassenen oder falschen Frage die Vergleichsbasis und die Bedingungen und rechne erneut.
- 3 Punkte: Du hast die drei untersuchten Zusammenhänge korrekt angewendet. Teste es mit eigenen Daten und notiere auch die Grenzen des Abschnitts zur Reihenfolge von festem Gutschein und prozentualem Rabatt.
Aus dem ungarischen Artikel übersetzt und angepasst: Ungarischer Originalartikel.