A csonkagúla térfogata V = h(T₁ + T₂ + √(T₁T₂))/3. A két alapterület egyszerű átlaga általában nem helyettesíti a zárójelből és a harmadolásból adódó átlagos keresztmetszetet. A test oldalméretei a magasság mentén arányosan változnak, a keresztmetszet területe viszont ezek négyzetével változik.
A képlet olyan csonkagúlára vonatkozik, amelyet egy gúlából az alaplappal párhuzamos metszéssel kapsz. A két alaplap párhuzamos és hasonló. A h magasság a két alaplap síkja közötti merőleges távolság, nem az oldalél vagy az oldallap ferde magassága.
Négyzetes példa köztes lépésekkel
Legyen egy saját szemléltető modell alsó alapéle 6 cm, felső alapéle 2 cm, testmagassága 5 cm. A két négyzet területe T₁ = 6² = 36 cm² és T₂ = 2² = 4 cm². A szorzatuk gyöke √(36 × 4) = √144 = 12 cm².
Ezután V = 5 × (36 + 4 + 12)/3 = 260/3 cm³ ≈ 86,67 cm³. A zárójel minden tagja terület, amelyet magassággal szorzunk; így köbcentiméter az eredmény. A Wolfram MathWorld csonkagúláról szóló szócikke közli a térfogat és a szabályos eset palástjának összefüggését.
Az egyszerű átlagolás (36 + 4)/2 × 5 = 100 cm³-t adna. Ez 13,33 cm³-rel, a helyes eredményhez mérten körülbelül 15,38%-kal több. Két eltérő alaplap között a köztes keresztmetszetek területe nem változik egyenletesen.
Ellenőrzés két teljes gúlával
Az alapélek aránya 2/6 = 1/3, ezért a levágott kis gúla és az eredeti nagy gúla hasonlósági aránya is 1/3. Jelölje H a teljes nagy gúla magasságát. A levágott rész magassága H/3, a kettő különbsége 5 cm.
Ebből H − H/3 = 5, tehát H = 7,5 cm; a kis gúla magassága 2,5 cm. A nagy gúla térfogata 36 × 7,5/3 = 90 cm³. A kis gúláé 4 × 2,5/3 = 10/3 cm³. A különbség 90 − 10/3 = 260/3 cm³, ugyanaz, mint az első módszerrel.
Ez a bontás megmutatja a hasonlóság szerepét is. Két tetszőleges, párhuzamos lap területe és távolsága önmagában nem határozza meg a köztük lévő testet: a csonkagúla geometriai feltételeire is szükség van.
A felszínhez további geometria kell
Ha a két négyzet középpontja egymás fölött van, a test egyenes négyzetes csonkagúla. Az oldallap ferde magassága ekkor s = √[5² + ((6 − 2)/2)²] = √29 cm ≈ 5,3852 cm.
A négy oldallap együttes területe 2(6 + 2)√29 ≈ 86,16 cm². A két alaplappal együtt a teljes felszín 86,1626… + 36 + 4 ≈ 126,16 cm². A 5 cm-es testmagasságot közvetlenül az oldallap magasságának venni kisebb, hibás palástot adna.
A csonkagúla-kalkulátorban a négyzetes mód ad térfogatot és felszínt. A két ismert alapterületre épülő mód térfogatot számol; a felszínhez az alaplapok alakja, kerülete és a megfelelő oldalmagasságok is kellenek.
A számolás előtt minden hosszt azonos egységre hozz. Ha alapterületet adsz meg, annak négyzetes egysége ehhez illeszkedjen. A felső alap méretének nullához közelítésével a képlet a teljes gúla V = hT₁/3 képletéhez tart. Azonos alapterületek határhelyzetében pedig hasáb térfogata adódik. A tényleges eszköz csonkagúla-módjánál kövesd a pozitív méretekre és a kisebb felső alapra vonatkozó bemeneti feltételeket.