Két mérési csoport külön-külön alig szóródik, együtt mégis nagy lehet az ingadozásuk. Ennek oka, hogy az egyesített adatokban a csoportátlagok eltérése is megjelenik. Az összesített szórás kiszámításához ezért a csoportméretre, az átlagra és a szórás pontos definíciójára egyaránt szükség van.
Itt a mintaszórást használjuk: a négyzetes eltérések összegét az elemszámnál eggyel kisebb nevezővel osztjuk, majd gyököt vonunk. Ha a forrásadatok teljes sokaságra, n nevezővel számolt szórást adnak, a képlet előkészítését ehhez kell igazítani.
Két egyszerű mérési sor
Hipotetikus példánk első csoportjának értékei 8, 10 és 12 mm. A másodiké 18, 20 és 22 mm. Mindkét csoport háromelemes. Az átlagok 10 és 20 mm, a mintaszórás mindkét csoportban 2 mm.
A hat adat közös átlaga az elemszámmal súlyozott átlag:
közös átlag = (n1 × átlag1 + n2 × átlag2) / (n1 + n2).
Itt (3 × 10 + 3 × 20) / 6 = 15 mm. Eltérő csoportméreteknél az átlagok egyszerű átlaga általában hibás volna.
Belső és csoportok közötti eltérés
Egy csoport saját átlagához tartozó négyzetösszege visszakapható a mintaszórásból: belső négyzetösszeg = (n − 1) × s². Mindkét csoportban ez 2 × 4 = 8 mm².
A csoportátlagot ezután át kell helyezni a közös átlaghoz. Ennek többlete csoportonként n × (csoportátlag − közös átlag)². Az első csoportnál 3 × (10 − 15)² = 75 mm², a másodiknál ugyanennyi.
| Összetevő | Négyzetösszeg |
|---|---|
| Első csoport belső eltérése | 8 mm² |
| Második csoport belső eltérése | 8 mm² |
| Első csoport átlagának eltérése | 75 mm² |
| Második csoport átlagának eltérése | 75 mm² |
| Összesen | 166 mm² |
Az egyesített mintavariancia 166 / (6 − 1) = 33,2 mm². A mintaszórás √33,2 ≈ 5,762 mm. Ez jóval nagyobb a két külön 2 mm-es szórásnál.
Ellenőrzés a nyers adatokkal
A közös 15 mm-es átlagtól vett eltérések −7, −5, −3, +3, +5 és +7 mm. Négyzeteik összege 49 + 25 + 9 + 9 + 25 + 49 = 166 mm². Ugyanazt kaptuk, tehát az összesítő adatokból végzett számolás és a nyers soros ellenőrzés egyezik.
Ez az azonosság hasznos, amikor a teljes mérési állomány helyett csak csoportos összesítések állnak rendelkezésre. A csoportoknak különállóknak kell lenniük. Ha ugyanaz a mérés két csoportban is szerepel, az egyesítés kétszer számolja.
Nulla belső szórásból is lehet nagy összesített szórás
Második hipotetikus példánkban az első csoport 10, 10, 10 mm, a második 20, 20, 20 mm. A belső szórások nullák. A közös átlag továbbra is 15 mm, a csoportátlagokból származó négyzetösszeg 150 mm². A teljes mintaszórás √(150 / 5) ≈ 5,477 mm.
Az egyesített változatosság tehát teljes egészében a csoportok közötti különbségből származik. Ez két eltérően beállított mérési folyamatnál lényeges felismerés: egyetlen közös szórás elfedheti a két külön működési szintet.
Mire figyelj az adatok átvételekor?
A belső varianciákat összevonó, statisztikai tesztekben használt közös varianciabecslés más célt szolgálhat. Ott a csoportátlagok eltérését szándékosan külön kezelik. Az itt számolt érték a teljes egyesített adatsor tényleges mintaszórása.
Ellenőrizd az egységeket, az elemszámokat, az n vagy n − 1 nevezőt és a csoportok átfedésmentességét. A statisztikai kalkulátor és a grafikus számológép a részszámítások ellenőrzését segíti. A jelentésben őrizd meg a külön csoportátlagokat is, mert ezek magyarázzák az összesített szórás növekedését.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Mennyi a két azonos méretű csoport közös átlaga?
- A) 10 mm
- B) 15 mm
- C) 20 mm
2. Melyik összetevő maradna ki a két 2 mm-es szórás egyszerű átlagából?
- A) A csoportátlagok közötti különbség.
- B) Az elemszám mértékegysége.
- C) A négyzetgyök előjele.
3. Lehet-e pozitív a teljes szórás, ha minden csoporton belül nulla?
- A) Soha.
- B) Csak negatív méréseknél.
- C) Igen, ha a csoportok átlagai eltérnek.
Megoldások és indoklás
- 1. B: A két háromelemes csoport összege 30 + 60 mm, ezt hat mérés között osztjuk el.
- 2. A: A 10 és 20 mm-es működési szintek a közös átlagtól külön is eltérnek.
- 3. C: A második példában a 10 és 20 mm-es állandó csoportok együtt 5,477 mm körüli mintaszórást adnak.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Számold ki a hat nyers adat közös átlagát és eltéréseit. Ezt hasonlítsd össze a táblázat négy összetevőjével.
- 2 pont: Az egyesítés lényegét érted. A mintaszórás nevezőjét és a csoportközi tagot nézd át ismét.
- 3 pont: Helyesen számolsz összesítő adatokból. Saját csoportoknál következőként az átfedést és a forrásban használt szórásdefiníciót ellenőrizd.
