Ha egy kísérletet az első sikerig ismételsz, a befejezés időpontja véletlen. A geometriai eloszlás azt írja le, hányadik próbálkozásra következik be az első siker, feltéve, hogy a próbák függetlenek, és minden alkalommal ugyanaz a siker valószínűsége.
Ebben a cikkben X az összes próbálkozás száma, az utolsó sikeres próbával együtt. Így X lehetséges értékei 1, 2, 3 és így tovább. Más leírások csak a sikertelen próbákat számolják; ott a változó nulla is lehet, és az átlag eggyel kisebb. A számlálási szabályt ezért az elején rögzítsd.
Három különböző kérdés
Egy hipotetikus, automatizált oktatási kísérletben minden próba sikeres kimenetelének esélye p = 0,2. Egy sikertelen próba esélye q = 1 − p = 0,8. A korábbi eredmények nem változtatják meg a következő próba feltételeit.
Annak esélye, hogy az első siker pontosan a k. próbában jön:
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p.
A harmadik próbához előbb két kudarc kell, majd egy siker: 0,8² × 0,2 = 0,128, azaz 12,8%. Ez eltér attól a kérdéstől, hogy három próbán belül sikerül-e. Utóbbi esélye 1 − 0,8³ = 48,8%.
Az átlagos várakozás képlete E(X) = 1/p, ebben az esetben 5 próba. Ez sok egymástól függetlenül újraindított sorozat átlagát jellemzi. Egy adott sorozat hossza lehet egyetlen próba, vagy akár jóval több ötnél.
Az átlag nem teljesülési határidő
Az ötödik próbáig bekövetkező siker esélye 1 − 0,8⁵ = 67,232%. Tehát az átlagos várakozásnak megfelelő öt próbából álló keret körülbelül az esetek harmadában kevés.
Ha legalább 90%-os esélyt szeretnél egy sikerre, olyan egész n érték kell, amelyre 1 − 0,8ⁿ legalább 0,9. Logaritmussal n legalább ln(0,1) / ln(0,8), ami körülbelül 10,32. Felfelé kerekítve 11 próba szükséges. Tíz próbánál 89,263%, tizenegynél 91,410% az esély.
| Kérdés | Eredmény a példában |
|---|---|
| Átlagosan hány próba kell? | 5 |
| Hány próbán belül legalább 50% a sikeresély? | 4 |
| Hány próbán belül legalább 90% a sikeresély? | 11 |
Az ötven százalékhoz tartozó legkisebb egész érték 4, mert 1 − 0,8⁴ = 59,04%, míg három próbánál csak 48,8% adódik. A várható érték, a medián és egy magasabb valószínűségi küszöb eltérő tervezési információ.
Mit változtat a jobb sikerarány?
Második hipotetikus kísérletünkben p = 0,5. Az átlag 2 próba, a 90%-os küszöb pedig 4 próba, mert 1 − 0,5⁴ = 93,75%. A sikerarány javítása ezért a várható ráfordítást és a hosszú sorozatok esélyét is mérsékli.
A modell úgynevezett emlékezetnélküli tulajdonságából az következik, hogy négy sikertelenség után a következő próba sikeresélye továbbra is p. A hosszú kudarcsorozat önmagában nem teszi esedékessé a sikert. Valós helyzetben azonban a sorozat arra is utalhat, hogy a feltételezett p hibás, vagy a próbák függnek egymástól.
Alkalmazási határok
Tanulás, kopás, fogyó készlet, visszatevés nélküli húzás és közös műszaki hibaforrás megsértheti a feltételeket. Ilyenkor a geometriai modell átdolgozásra szorul. A nulla sikeresélyhez nincs véges várható várakozás; p = 1 esetén az első próba biztos siker.
A statisztikai és valószínűségi kalkulátor a kapcsolódó valószínűségi részszámítások kiindulópontja, a hatványokhoz a grafikus számológép is használható. Az eredményt mindig a választott számlálási szabállyal és a sikerarány feltételezésével együtt közöld.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. A példában az átlagos öt próba mekkora sikeresélyt ad öt próbán belül?
- A) 100%-ot
- B) 50%-ot
- C) Körülbelül 67,2%-ot
2. Legalább hány próba kell a 90%-os küszöbhöz p = 0,2 mellett?
- A) 10
- B) 11
- C) 5
3. Négy kudarc után mekkora a következő próba sikeresélye az érvényes modellben?
- A) Továbbra is 20%.
- B) 80%.
- C) 100%.
Megoldások és indoklás
- 1. C: A várható érték nem biztos határidő. Az esély 1 − 0,8⁵ = 0,67232.
- 2. B: Tíz próba még csak 89,263%, tizenegy már 91,410% sikeresélyt ad.
- 3. A: A függetlenség és az állandó p miatt a korábbi próbák nem módosítják a következőt.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Először döntsd el, pontos próbára vagy adott kereten belüli sikerre kérdezel. Számold újra a harmadik és az ötödik próbához tartozó példát.
- 2 pont: A várakozás alapját érted. Nézd át a várható érték és a 90%-os küszöb közti különbséget.
- 3 pont: A különböző várakozási mutatókat jól szétválasztod. Saját kísérletnél következőként a függetlenséget és az állandó sikerarányt ellenőrizd.
