Egy exobolygó létezése önmagában még nem jelenti, hogy a Föld felől nézve időnként átvonul a csillaga előtt. A pályasíknak ehhez megfelelően kell állnia a látóirányunkhoz képest. Véletlenszerűen tájolt, azonos körpályás rendszerek sokaságában ennek geometriai aránya kiszámolható.
A számítás azt a kérdést válaszolja meg, hány rendszer helyzete tesz lehetővé tranzitot. Egy konkrét műszeres keresés sikeréhez a jel erőssége, a zaj, a megfigyelési idő és más feltételek is hozzátartoznak.
A körpályás geometriai valószínűség
Legyen Rcs a csillag, Rb a bolygó sugara, a a körpálya középpontok között mért sugara. A súroló átvonulásokat is megengedő geometriai valószínűség:
ptranzit = (Rcs + Rb) / a.
Az adatokat azonos hosszegységben kell megadni, így az eredmény dimenzió nélküli. Százalékhoz 100-zal szorozzuk. Fizikailag elkülönülő csillagot és bolygót feltételezünk, ezért a pályasugár nagyobb a sugarak összegénél.
A képlet véletlenszerű térbeli tájolást feltételez. Ha i a pályára merőleges irány és a látóirány közötti szög, akkor az éléről látott pálya i = 90°. Véletlen tájolásnál a cos(i) megfelelő tartománya egyenletes eloszlású. Az i szög egyszerű, egyenletes sorsolása más tájoláseloszlást adna.
A két korong legalább részleges átfedéséhez a vetített középtávolság legfeljebb Rcs + Rb lehet. Ha a teljes bolygókorongnak a csillagkorong belsejébe kell jutnia, és Rb kisebb Rcs-nél, a nem súroló tranzit feltétele szigorúbb:
pteljes = (Rcs − Rb) / a.
Első hipotetikus példa: 70 millió kilométeres pálya
Legyen Rcs = 700 000 km, Rb = 7000 km és a = 70 000 000 km. Ekkor:
ptranzit = 707 000 / 70 000 000 = 0,0101 = 1,01%.
A teljes bolygókorongot beengedő geometriák aránya:
pteljes = 693 000 / 70 000 000 = 0,0099 = 0,99%.
Tízezer ilyen, véletlenszerűen tájolt rendszerben a tranzitot mutatók várható száma 10 000 × 0,0101 = 101. Ez sokasági várható érték. Egy konkrét tízezres minta tényleges darabszáma eltérhet tőle, és a műszer sem feltétlenül észlel minden geometriailag lehetséges eseményt.
Az 1,01% és 0,99% különbsége a súroló helyzeteket tartalmazó keskeny tájolási tartományt fejezi ki. A „teljes” jelző itt a bolygókorong csillagkorongon belüli elhelyezkedésére vonatkozik; a csillag teljes eltakarását ez a kis bolygó természetesen nem okozza.
Második hipotetikus példa: tízszer közelebbi körpálya
Tartsuk változatlanul a két sugarat, és legyen a = 7 000 000 km. A geometriai esély 707 000 / 7 000 000 = 0,101 = 10,1%.
A tízszer kisebb pályasugár tízszer nagyobb geometriai tranzitvalószínűséget ad. A képletben ez közvetlen fordított arányosság. A példa a geometriai hatást vizsgálja; a bolygó hőmérsékletére, légkörére vagy pályájának hosszú távú fejlődésére ebből önmagában nem következtetünk.
Ugyanilyen módon kétszer nagyobb a esetén az esély feleződik. A sugarak módosításánál viszont mindig a teljes Rcs + Rb összeget kell újraszámolni: csak az egyik sugár felezése általában nem felezi a számlálót.
Az esély és a tranzit mélysége más mennyiség
Az első példában a bolygó és csillag sugarának aránya 0,01. Egyenletes felületi fényességű csillagot és teljesen belső, kis bolygókorongot feltételezve a relatív fényességcsökkenés közelítőleg (Rb/Rcs)² = 0,0001, azaz 0,01%.
Ez a 0,01% az esemény alatti fluxuscsökkenés. Az 1,01% a megfelelő térbeli tájolások aránya. A két szám eltérő kérdésre válaszol, ezért nem cserélhető fel. A valós tranzitgörbét többek között a csillag peremsötétedése és az átvonulás pályája is alakítja.
Mikor módosul az egyszerű esély?
Elliptikus pályán az excentricitás és a pálya térbeli iránya is szerepet kap. Ha már van információ a rendszer hajlásáról vagy más tranzitáló bolygójáról, a teljesen véletlen tájolás feltételezését is felül kell vizsgálni.
Az exobolygó-tranzit kalkulátor a témához kapcsolódó számításokat segítheti. A geometriai becsléshez külön rögzítsd a két sugarat és a pályasugarat, majd nevezd meg, súroló vagy teljesen belső tranzitot számolsz. A detektálhatóságot ezután a megfigyelés külön feltételeivel vizsgáld.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Mennyi az első példa súroló tranzitokat is tartalmazó esélye?
- A) 0,01%.
- B) 1,01%.
- C) 10,1%.
2. Mit változtat a pályasugár tízszeres csökkentése azonos csillag- és bolygósugár mellett?
- A) Tizedeli a geometriai esélyt.
- B) Változatlanul hagyja.
- C) Tízszerezi a geometriai esélyt.
3. Mit fejez ki a példabeli 0,01%-os tranzitmélység?
- A) Az esemény alatti közelítő fluxuscsökkenést.
- B) A megfelelő pályasíkok arányát.
- C) A bolygó létezésének valószínűségét.
Megoldások és indoklás
- 1. B: A 707 000 / 70 000 000 hányados 0,0101, százalékban 1,01%.
- 2. C: A valószínűség a pályasugár reciprokával arányos.
- 3. A: A mélység a sugarak négyzetes arányából becsült jelamplitúdó, különbözik a geometriai tranzitvalószínűségtől.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Írd fel külön a (Rcs + Rb)/a és az (Rb/Rcs)² képlet jelentését. Az első példát mindkettővel számold végig, százalékos átváltással.
- 2 pont: Az esély fő összefüggését érted. Nézd át még a súroló és teljesen belső tranzit, valamint a detektálhatóság különbségét.
- 3 pont: A három kérdésben jól kezelted a geometriát, az arányosságot és a jelmélységet. Következőként vizsgáld meg, hogyan módosul az esély a csillagsugár változtatásakor.
