Egy fénysebességhez közeli sebességgel megtett út időtartama attól is függ, melyik óra eredményét kérdezed. Az indulási helyhez és a célhoz képest nyugvó rendszer koordinátaideje eltérhet az utazó fedélzeti órája által mért sajátidőtől. A két adat ugyanannak az útnak két pontosan meghatározott időjellemzője.
Az alábbi hipotetikus modellben az indulási pont és a cél egymáshoz képest nyugalomban van. Az utazó a vizsgált szakaszon állandó sebességgel mozog, gravitációs hatást elhanyagolunk. A gyorsítás, fékezés és az esetleges fordulás idejét külön kellene hozzászámítani egy teljes útmodellben.
Először nevezd meg a vonatkoztatási rendszert
Legyen L0 a nyugvó indulási pont és cél közötti távolság, v az utazó sebessége ebben a rendszerben. A külső koordinátaidő:
t = L0 / v.
A Lorentz-faktor:
γ = 1 / √(1 − v²/c²).
Az utazó sajátideje az állandó sebességű szakaszon:
τ = t / γ = t × √(1 − v²/c²).
A c a vákuumbeli fénysebesség. A β = v/c jelöléssel a gyök alatti tag 1 − β². Tömeggel rendelkező utazó esetén 0 ≤ β < 1 tartományban számolunk. A γ legalább 1, ezért τ legfeljebb t.
A külső koordinátaidő meghatározásához az indulási rendszer egyeztetett órái használhatók. A távoli eseményről később beérkező fényjel vételi ideje külön adat. A fényterjedési késést nem szabad azonosítani az idődilatációval.
Első hipotetikus példa: négy fényév 0,8c sebességgel
Legyen L0 = 4 fényév, v = 0,8c. A fényév távolságegység: akkora út, amelyet a fény egy év alatt tesz meg vákuumban. Ezzel az egységválasztással:
t = 4 / 0,8 = 5 év.
A Lorentz-faktor γ = 1 / √(1 − 0,8²) = 1 / 0,6 ≈ 1,6667. A fedélzeti sajátidő:
τ = 5 / 1,6667 = 3 év.
Az indulási rendszerben az út öt évig tart, az utazó óráján három év telik el a meghatározott egyenes, állandó sebességű szakaszon. Az utazó helyben a saját órájának szokásos működését tapasztalja.
A hároméves sajátidőből nem következik fénysebesség feletti helyi mozgás. A 4 fényévet az indulási rendszerben mértük. Ezt másik rendszerben mért idővel elosztva olyan vegyes hányadost képeznénk, amely nem az utazó által mért sebesség.
Ugyanez a hosszkontrakcióval ellenőrizve
Az utazó állandó sebességű rendszerében az indulási pont és a cél közötti, mozgásirányú távolság:
L = L0 / γ.
Az első példában L = 4 / 1,6667 = 2,4 fényév. Ebben a rendszerben a cél 0,8c sebességgel közeledik, így az érkezésig 2,4 / 0,8 = 3 év telik el. Ugyanazt a sajátidőt kaptuk, mint az idődilatációból.
A távolságmérés a két végpont adott rendszerben egyidejű helyzetéhez tartozik. Az egyidejűség relativitása teszi következetessé a két leírást. A mozgásra merőleges méretekre ez az egyszerű hosszkontrakciós tényező nem vonatkozik.
Második hipotetikus példa: ugyanaz az út 0,6c-vel
Legyen továbbra is L0 = 4 fényév, de v = 0,6c. A külső menetidő t = 4 / 0,6 ≈ 6,667 év. A Lorentz-faktor γ = 1 / √(1 − 0,36) = 1,25.
A sajátidő τ ≈ 6,667 / 1,25 = 5,333 év. Az utazó rendszerében a hossz 4 / 1,25 = 3,2 fényév, ami 0,6c relatív sebességgel szintén 5,333 évet ad.
A kisebb sebességnél a külső menetidő hosszabb, és a két óra közötti arányeltérés kisebb. A két hatást külön kell követni: a sebesség módosítása egyszerre változtatja meg a t = L0/v időt és a Lorentz-faktort.
Teljes út és tényleges megfigyelés
Oda-vissza útnál a fordulás megváltoztatja az utazó mozgásállapotát. A teljes sajátidőt az út szakaszain kell meghatározni; tartós gyorsításnál időben változó sebességgel számolunk. Egyetlen állandó γ csak azokra a részekre használható, ahol v valóban állandó.
A relativisztikus utazás kalkulátor ehhez a témához kapcsolódó segítséget ad. Saját feladatnál minden időhöz és távolsághoz írd oda a mérési rendszert. Ezután a sajátidőt a hosszkontrakcióval is ellenőrizheted, és külön tarthatod a gyorsítási szakaszokat, valamint a fényjel továbbításának idejét.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Mennyi az első példa külső menetideje és sajátideje?
- A) 3 év és 5 év.
- B) 5 év és 3 év.
- C) 5 év és 5 év.
2. Mekkora az első példában a mozgásirányú távolság az utazó rendszerében?
- A) 2,4 fényév.
- B) 4 fényév.
- C) 6,667 fényév.
3. Mi szükséges változó sebességű teljes útnál?
- A) Egyetlen tetszőlegesen választott γ használata.
- B) A fényév időegységként kezelése.
- C) Az egyes szakaszok vagy a változó sebesség időfüggésének kezelése.
Megoldások és indoklás
- 1. B: A külső idő 4/0,8 = 5 év; a sajátidő az 1,6667-es Lorentz-faktorral osztva 3 év.
- 2. A: A hosszkontrakció szerint L = L0/γ = 4/1,6667 = 2,4 fényév.
- 3. C: Az állandó sebességű képletet csak megfelelő szakaszra alkalmazhatjuk; gyorsításkor γ is változik.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Készíts külön sort a külső t és a fedélzeti τ számára. Számold ki előbb γ értékét, majd ellenőrizd az első példát a rövidebb távolságból.
- 2 pont: Az idődilatáció alapját érted. Nézd át még a mérési rendszerek szerepét és a gyorsítási szakaszok kezelését.
- 3 pont: A három kérdésben következetesen használtad az időt, a hosszt és a szakaszmodellt. Következőként hasonlíts össze két további, c alatti sebességet ugyanarra az útra.
