Két ideális óra eltérő gravitációs környezetben eltérő sajátidőt mérhet ugyanahhoz a közös összehasonlítási időszakaszhoz. Egy gömbszimmetrikus központi tömeg körül nyugvó órák közül a nagyobb sugáron elhelyezett óra gyorsabban jár a kisebb sugáron rögzítetthez képest.
Az „eltérő órajárás” itt fizikai ütemkülönbséget jelent. Mindkét óra a saját helyén szabályosan működik. A különbség az órák eredményeinek összehasonlításakor jelenik meg; a mérésnél a jelek terjedési idejét és a mozgást is megfelelően kezelni kell.
Két rögzített óra ütemaránya
A nem forgó, gömbszimmetrikus tömeg külső Schwarzschild-terében egy r sugáron nyugvó óra sajátideje és a távoli referenciaidő kapcsolata:
Δτ(r) = Δt × √(1 − rs / r).
Az rs = 2GM/c² a Schwarzschild-sugár. Az r a központtól mért sugárkoordináta, nem a felszín fölötti magasság. A Δτ az adott óra által mért sajátidő. A Δt közös koordinátaidő, amely a távoli nyugvó referenciaórához igazodik.
Két óra közvetlen arányához a közös Δt kiesik:
ΔτB / ΔτA = √[(1 − rs/rB) / (1 − rs/rA)].
Mindkét órának a horizonton kívül kell lennie, rA és rB nagyobb rs-nél. A rögzített helyzet általában megtámasztást vagy más, helyben tartó hatást igényel. Egy szabadon eső vagy keringő óra pályája más feladat.
Első hipotetikus példa: 1000 méter magasságkülönbség
Gyenge gravitációs térben, a felszínhez képest kis magasságkülönbségre és közel állandó g mellett használható:
relatív ütemkülönbség ≈ g × h / c².
A magasabban lévő órához pozitív eltérés tartozik. Legyen h = 1000 m, a feltételezett helyi g = 9,81 m/s², c = 299 792 458 m/s. Ekkor a relatív különbség körülbelül 1,0915 × 10⁻¹³.
Egy 86 400 másodperces nap alatt az időeltérés közelítőleg:
Δτeltérés ≈ 86 400 × 1,0915 × 10⁻¹³ s ≈ 9,43 × 10⁻⁹ s.
Ez körülbelül 9,43 nanoszekundum naponta. A nanoszekundum a másodperc milliárdod része. A magasabb óra ennyivel több sajátidőt mér a megadott egyszerűsítések mellett.
Száz méterrel számolva a kis magasságkülönbségre érvényes közelítés tizedekkora, körülbelül 0,943 nanoszekundumos napi eltérést ad. A lineáris arányosság itt a közel állandó g és a kis változás feltételéből következik.
Második hipotetikus példa: erősebb gravitációs tér
Legyen az A óra rA = 4rs, a B óra rB = 8rs sugáron rögzítve. A dimenzió nélküli arányok miatt a konkrét tömeg a következő ütemarányból kiesik:
ΔτB / ΔτA = √[(1 − 1/8) / (1 − 1/4)] = √(7/6) ≈ 1,08012.
Ha A óráján 3600 s telik el, ugyanahhoz a közös koordinátaidő-szakaszhoz B óráján körülbelül 3888,44 s tartozik. A különbség 288,44 s, azaz körülbelül 4 perc 48 másodperc.
Ez matematikai szemléltetés rögzített megfigyelőkkel. A helyben tartás fizikai megoldását és egy ilyen környezet elérhetőségét a példa nem modellezi. A kis földfelszíni magasságokra használt gh/c² alakot ebbe az erős térbeli példába közvetlenül behelyettesíteni indokolatlan lenne.
Miért fontos a potenciál és a mozgás szétválasztása?
A gravitációs órakülönbséget a gravitációs potenciál eltérése írja le a gyenge tér közelítésében. Önmagában a két helyi g érték különbsége nem elegendő. A g × h szorzat a potenciálkülönbség közelítése akkor, ha g az érintett tartományban közel állandó.
A Föld forgása, az órák sebessége, a gravitációs tér részletei és a méréshez választott referenciafelület a precíz összehasonlításban további szerepet kapnak. Egy műhold és egy felszíni óra eltérését ezért nem lehet kizárólag a magasságuk alapján teljesen meghatározni.
A NIST órakísérletei a kis magasságkülönbségekhez kapcsolódó ütemeltérést is mérhetővé tették. A gravitációs idődilatáció kalkulátor a témához kapcsolódó számítási segítség. Saját feladatnál először nevezd meg a két óra mozgásállapotát és a használt gravitációs modellt, majd döntsd el, elegendő-e a gyenge tér közelítése. Az eredményt relatív arányként és egy megadott időtartamra számolt eltérésként is írd ki.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Melyik óra jár gyorsabban a leírt nyugvó Schwarzschild-modellben?
- A) A kisebb sugáron lévő.
- B) A nagyobb sugáron lévő.
- C) Mindig pontosan azonos üteműek.
2. Mennyi az 1000 m-es példa közelítő napi eltérése?
- A) 9,43 másodperc.
- B) 9,43 ezredmásodperc.
- C) 9,43 nanoszekundum.
3. Mikor indokolt a g × h / c² közelítés?
- A) Gyenge térben, kis magasságkülönbségnél és közel állandó g mellett.
- B) Bármilyen fekete lyuk belsejében.
- C) Minden keringő műhold teljes óraeltérésére önmagában.
Megoldások és indoklás
- 1. B: Nagyobb r esetén a √(1 − rs/r) tényező nagyobb, így ugyanannyi koordinátaidő alatt több sajátidő telik el.
- 2. C: A relatív 1,0915 × 10⁻¹³ eltérést 86 400 s-mal szorozva 9,43 × 10⁻⁹ s adódik.
- 3. A: A közelítés a kis potenciálkülönbségre vonatkozik; erős tér és mozgás további kezelést igényel.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Válaszd szét a relatív ütemkülönbséget és a másodpercben mért eltérést. Ezután szorozd meg a földfelszíni példa arányát egy nap időtartamával.
- 2 pont: Az arány és az időeltérés kapcsolatát érted. Ellenőrizd még, hogy az órák nyugvók-e, és melyik közelítés alkalmazható.
- 3 pont: A három kérdésben jól kezelted az előjelet, a nagyságrendet és a modellhatárt. Következőként számolj ugyanazzal a magasságkülönbséggel egy másik időtartamot.
