Kepler harmadik törvénye a keringési idő négyzetét a pálya fél nagytengelyének köbéhez kapcsolja. Ugyanazon központi tömeg körül a nagyobb pályához hosszabb periódus tartozik. Körpályán a fél nagytengely a pályasugár, így a számítás közvetlenül elvégezhető a középponttól mért távolsággal.
A tömeg és a megfelelő távolság
Ha a keringő test tömege elhanyagolható a központi M tömeghez képest:
T = 2π × √[a³ / (GM)].
T másodperc, a méter, M kilogramm. A gravitációs állandóhoz a NIST CODATA-értékét használjuk: G = 6,67430 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²). A periódus és az ellipszis fél nagytengelyének kapcsolatát az OpenStax Kepler-fejezete tárgyalja.
Körpályán a = r, a bolygó középpontjától mért sugár. A felszíntől mért h magasságot a bolygó R sugarával ki kell egészítened: r = R + h. Ez az egyik leggyakoribb eltérés a feladat szövege és a kalkulátor bemenete között.
Saját körpályapélda
Vegyünk egy hipotetikus égitestet, amelynek tömege 4 × 10²⁴ kg, sugara 6 000 km. A körpálya magassága a felszíne felett szintén 6 000 km. A számításhoz használt pályasugár tehát 12 000 km = 12 000 000 m.
A gravitációs tömegparaméter:
GM = 6,67430 × 10⁻¹¹ × 4 × 10²⁴ = 2,66972 × 10¹⁴ m³/s².
A gyök alatti hányados r³ / GM ≈ 6 472 588,886 s². Négyzetgyököt vonva, majd 2π-vel szorozva:
T ≈ 15 985,230 s = 4,44034 óra.
Ez körülbelül 4 óra 26 perc 25 másodperc. A keringési idő kalkulátorában kilogrammot válassz a tömeghez, a pályasugárnál pedig 12 000 km-t adj meg. A 6 000 km-es felszíni magasság közvetlen beírása más pályát jelentene.
A pályasugár visszaszámítása
A periódusból a köbgyökös alakot kapjuk:
a = ∛[GM × T² / (4π²)].
Maradjon ugyanaz a 4 × 10²⁴ kg-os égitest, a kívánt körpálya periódusa pedig legyen 6 óra, azaz 21 600 s. Behelyettesítve a sugár körülbelül 14 666 883 m, vagy 14 666,883 km.
A pályasugár-kalkulátorban a 6 órát közvetlenül is megadhatod. A kapott sugárból a bolygó 6 000 km-es sugarát levonva a körpálya magassága 8 666,883 km. A távolság és magasság külön feltüntetése megakadályozza, hogy a helyes képlet eredményét rossz geometriai mennyiségként használd tovább.
Arányokkal gyorsan ellenőrizhető
Azonos központi tömeg mellett kétszeres pályasugárhoz 2^(3/2) ≈ 2,82843-szoros periódus tartozik. A példabeli 4,44034 óra így körülbelül 12,55918 órára nőne.
Azonos pályasugárnál a központi tömeg kétszerezése a periódust √2-vel osztja: a szemléltető érték 3,13980 óra lenne. A nagyobb tömeghez ugyanazon távolságban rövidebb keringési idő tartozik. Ezek az arányok a teljes számítás nagyságrendjének ellenőrzésére is használhatók.
Ellipszis és a modell határai
Ellipszispályán a fél nagytengelyt használd, ne egy tetszőleges pillanatnyi távolságot. A DG keringési eszköze körpályasebességet is közöl: ez az ellipszis egy pontjának sebességeként nem értelmezhető. Azonos fél nagytengelyű ellipszisek periódusa a kéttestmodellben azonos lehet, miközben a testek sebessége a pálya mentén változik.
Ha a keringő társ tömege sem elhanyagolható, a pontosabb kéttest-kapcsolatban GM helyén G(M + m) szerepel, a pedig a két test relatív pályájának fél nagytengelye. A NASA Kepler-ismertetője ezt a tömegfüggő általánosítást is tárgyalja. Több jelentős égitest zavaró hatása, légellenállás vagy hajtás esetén a számított egyszerű periódus csak viszonyítási érték.