A szökési sebesség az a határsebesség, amellyel egy test további hajtás nélkül éppen elhagyhatja egy elszigetelt égitest gravitációs kötését az ideális modellben. A kezdőpont égitestközépponttól mért távolságától és az égitest tömegétől függ. A távozó kis test saját tömege kiesik az egyszerű képletből.
Az energia adja a képletet
A gömbszimmetrikus égitesten kívül a gravitációs potenciális energia −GMm/r, ha a végtelenben választjuk a nullát. A határesetben a kezdő mozgási energia ezt ellensúlyozza:
m × v² / 2 − GMm / r = 0.
Az m-mel osztva és v-re rendezve:
vₑ = √(2GM / r).
A képlet energiaelvű levezetését az OpenStax gravitációs energiáról szóló fejezete mutatja be. M kilogrammban, r méterben, a sebesség m/s-ban szerepel. A NIST gravitációs állandójával számolunk: G = 6,67430 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²).
A felszínről indulva r az égitest sugara. Felszín feletti h magasságnál az r = R + h középponti távolságot kell használni. A gömb belsejére ez a teljes tömeggel alkalmazott külső képlet nem vihető át változtatás nélkül.
Egy saját, hipotetikus égitest
Legyen az égitest tömege 4 × 10²⁴ kg, sugara 6 000 km. Ez utóbbi 6 000 000 m. A gyök alatti mennyiség:
2GM / r = 2 × 6,67430 × 10⁻¹¹ × 4 × 10²⁴ / 6 000 000 ≈ 88 990 666,667 m²/s².
A négyzetgyök 9 433,486 m/s, vagyis 9,43349 km/s. A szökési sebesség kalkulátorában kilogrammos tömegegységet és kilométeres sugáregységet válassz, majd 4 × 10²⁴ kg-ot és 6 000 km-t adj meg. A kapott határsebességet a feltételezett modellhez kerekítve körülbelül 9,43 km/s-ként értelmezheted.
Az egy kilogrammra jutó kezdeti mozgási energia a határon v² / 2 ≈ 44 495 333 J/kg, vagyis 44,495 MJ/kg. Ugyanez adódik GM/r-ből, így az energiaegyenlet visszaellenőrzi az eredményt.
A nagyobb sugár hatása attól függ, mit tartasz állandónak
Azonos sugárnál kétszeres központi tömeg √2-szeres szökési sebességet ad: a példában 13,34096 km/s-ot. Azonos tömegnél kétszeres sugár viszont √2-vel osztja a sebességet, így 6,67048 km/s adódik.
| Változtatás | Tömeg aránya | Szökési sebesség |
|---|---|---|
| Eredeti példa | 1 | 9,43349 km/s |
| Kétszeres tömeg, azonos sugár | 2 | 13,34096 km/s |
| Kétszeres sugár, azonos tömeg | 1 | 6,67048 km/s |
| Kétszeres sugár, azonos sűrűség | 8 | 18,86697 km/s |
Az utolsó sorban a gömb térfogata nyolcszorosára nő, így azonos átlagos sűrűségnél a tömeg is nyolcszoros. A tömeg/sugár arány négyszereződik, ezért a szökési sebesség kétszeres. A „nagyobb bolygóról könnyebb elszökni” állítás a tömeg vagy sűrűség feltétele nélkül nem értékelhető.
Körpálya és szökés két külön energiaállapot
Ugyanazon r távolságban az ideális körpályasebesség √(GM/r). A szökési sebesség ennek √2-szerese; ezt az OpenStax pályaenergiáról szóló fejezete is összeveti. A saját példában a körpályasebesség 6,67048 km/s.
A kisebb szám itt azt jelenti, hogy a test kötött körpályán maradhat. A szökési határon az összenergia nulla, és a végtelenhez közelítve a sebesség nullához tart. A határnál nagyobb megfelelő kiinduló sebesség mellett maradhat többlet mozgási energia.
A számítás feltételei
A képletben nincs légellenállás, forgási segítség, más égitest vagy későbbi hajtás. A kezdő mozgás iránya sem vezethet az égitesttel való ütközéshez. Folyamatosan gyorsított mozgásnál a pálya és az energia bevitele külön feladat; a pillanatnyi sebességből önmagában nem dönthető el a későbbi szökés.
A saját összehasonlításodhoz ezért előbb rögzítsd, hogy a felszínről vagy más magasságból indulsz, és a tömeget vagy a sűrűséget tartod-e állandónak. A fenti táblázat mutatja, mennyire eltérő következtetéshez vezethet ez a választás.