Valós logaritmusos egyenletnél először írd fel, hogy minden logaritmus argumentuma szigorúan pozitív legyen. Az algebrai átalakítás után kapott értékeket ehhez és az eredeti egyenlethez is ellenőrizd. Egy szabályosan megoldott másodfokú egyenlet gyökei között is lehet olyan, amely az eredeti logaritmusos feladatban értelmezhetetlen.
A logaritmus alapjára külön feltétel vonatkozik: pozitív legyen, és térjen el 1-től. Ezek a feltételek a valós számok körében végzett számoláshoz tartoznak. A negatív argumentumot a logaritmusgomb újabb megnyomása vagy a számológép cseréje nem teszi megengedetté.
Két logaritmusból egy másodfokú egyenlet
Oldjuk meg saját szemléltető példaként: log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3. A két külön argumentum miatt x − 1 > 0 és x − 3 > 0. A közös értelmezési tartomány x > 3.
Ezen a tartományon az azonos alapú logaritmusok összege a szorzat logaritmusa. Ezért log₂[(x − 1)(x − 3)] = 3. A logaritmus definíciójával (x − 1)(x − 3) = 2³ = 8.
Felbontva x² − 4x + 3 = 8, rendezve x² − 4x − 5 = 0. A szorzattá alakítás (x − 5)(x + 1) = 0, így az algebrai jelöltek 5 és −1.
Az x = 5 megfelel az x > 3 feltételnek. Az eredeti bal oldal log₂4 + log₂2 = 2 + 1 = 3. Ezzel a behelyettesítés is igazolja a megoldást.
Az x = −1 nem része az értelmezési tartománynak. Az argumentumok −2 és −4 lennének, amelyek valós logaritmusa nem értelmezett. Az eredeti egyenletnek ezért pontosan egy valós megoldása van: x = 5.
A megengedett átalakításokat és az idegen gyökök ellenőrzését az OpenStax logaritmusos egyenletekről szóló fejezete tárgyalja. A konkrét számítás a fenti saját példa.
Miért tűnik mégis működőnek a −1?
A szorzatba behelyettesítve (−2) × (−4) = 8 valóban teljesül. A pozitív szorzat azonban nem igazolja, hogy külön-külön mindkét tényező pozitív. A log₂a + log₂b = log₂(ab) azonosság használatakor az a > 0 és b > 0 feltételeket meg kell tartani.
Ha az eredeti kikötést elhagyod, és csak ab > 0-t kérsz, megengeded a két negatív tényezőt is. Az átalakított feladat ekkor több értékre értelmezett, mint az eredeti. Ebből származik a második, itt elutasítandó jelölt.
A nulla sem megengedett argumentum. Ebben a példában x = 3 a második logaritmusba nullát tenne, ezért a tartomány nyitott határú. Az x ≥ 3 kikötés már eltérő, hibás állítás volna.
Mire használhatod a kalkulátort?
Az exponenciális és logaritmusos egyenlet kalkulátora a log_b(ax + c) = d és b^(ax + c) = d alaptípusokat kezeli. A fenti kétlogaritmusos egyenlet teljes szövege nem írható be ebbe az egyszerű együtthatós felületbe. A másodfokú köztes egyenletet a másodfokúegyenlet-kalkulátorral ellenőrizheted, az eredeti kikötéseket ekkor is neked kell alkalmaznod.
A logaritmusos eszközbe közvetlenül illő példa a log₂(3x − 6) = 4. Válaszd a logaritmusos módot, és add meg b = 2, a = 3, c = −6, d = 4 értékét. A kikötés x > 2. Az átalakítás 3x − 6 = 16, majd x = 22/3 ≈ 7,3333.
Az ellenőrzéshez a pontos 22/3 értéket tartsd meg: 3 × (22/3) − 6 = 16, és log₂16 = 4. A túl korai kerekítés kis maradékeltérést okozhat. A végső megoldás mellé mindig írd oda a teljesülő tartományfeltételt is.