A másodfokú egyenlet megoldóképlete megadja az algebrai gyököket, de a szöveges feladat feltételei döntik el, melyik használható. Ha az ismeretlen egy oldalhossz, pozitív értékre van szükség. Más feladatban, például koordináta keresésekor, negatív megoldás is teljesen megfelelő lehet.
A helyes munkasorrend: megnevezed az ismeretlent és az egységét, felírod a kikötéseket, elkészíted az egyenletet, majd a megoldásokat az eredeti feladatban is ellenőrzöd. Így a számológép által adott két számhoz konkrét jelentés társul.
Téglalap 40 négyzetméter területtel
Saját szemléltető feladatunkban egy téglalap hosszabbik oldala 3 m-rel nagyobb a rövidebbnél, területe 40 m². Jelölje x a rövidebb oldal méterben mért számértékét. A másik oldal x + 3, a kikötés x > 0.
A területből x × (x + 3) = 40. A zárójel felbontása után x² + 3x = 40, majd nullára rendezve x² + 3x − 40 = 0. Az ax² + bx + c = 0 alakhoz tartozó együtthatók a = 1, b = 3 és c = −40.
A diszkrimináns D = b² − 4ac = 3² − 4 × 1 × (−40) = 9 + 160 = 169. Mivel D pozitív, két különböző valós gyök van. A képlet x = (−b ± √D) / (2a), így x₁ = (−3 + 13) / 2 = 5, x₂ = (−3 − 13) / 2 = −8.
A megoldóképletet és a diszkrimináns eseteit az OpenStax másodfokú egyenletekről szóló fejezete tárgyalja. Az oldalhossz értelmezése a saját feladatunkból következik.
Két gyök, egy használható téglalap
Az x = 5 teljesíti a pozitivitási feltételt. A két oldal 5 és 8 m, különbségük 3 m, szorzatuk 40 m². Minden eredeti feltételt ellenőriztünk.
Az x = −8 algebrailag ugyancsak jó gyök: (−8)² + 3 × (−8) − 40 = 64 − 24 − 40 = 0. A hozzá tartozó másik szám −5, és (−8) × (−5) is 40. A téglalap két oldalhossza azonban nem lehet −8 és −5 m, ezért ezt a gyököt a szöveges feladat megoldásából kizárjuk.
Az elutasított gyök tehát nem számítási hiba. Az egyenlet több számértéket enged meg, mint a valós helyzetre felírt kikötés. Emiatt szükséges a visszaellenőrzés az algebrai egyenletben és a feladat eredeti értelmében is.
Az előjelek a megoldás részei
A másodfokúegyenlet-kalkulátorba az 1, 3, −40 együtthatókat írd. A c mezőben a mínuszjel lényeges. Ha véletlenül +40 kerül oda, már az x² + 3x + 40 = 0 egyenletet oldod meg, amelynek diszkriminánsa 9 − 160 = −151. Ez teljesen más feladat.
Ellenőrzésként a két eredeti gyök összege 5 + (−8) = −3, szorzata 5 × (−8) = −40. Ezek megfelelnek a −b/a és c/a összefüggéseknek. Ez gyors algebrai ellenőrzés, miközben a pozitív oldalhossz feltételét továbbra is külön kell alkalmazni.
Negatív diszkriminánsnál valós gyök nincs; a kalkulátor komplex megoldást is mutathat. Egy valós hosszúságot kereső feladatban a komplex szám nem használható méretként. Ha a = 0, az egyenlet már elsőfokú vagy elfajult, ezért a másodfokú képlet 2a nevezőjével sem számolhatsz.
Mit írj a feladat végére?
A megoldásban szerepeljen a két algebrai gyök, a kikötés alapján történt kiválasztás és a végső méret egysége. Itt a válasz: a rövidebb oldal 5 m, a hosszabb 8 m. A kerület ezekből 2 × (5 + 8) = 26 m.
Ha a gyök nem egész szám, a továbbszámításhoz őrizd meg a pontos gyökös alakot vagy több tizedesjegyet. A végső kerekítés igazodjon ahhoz, milyen pontossággal voltak megadva az eredeti méretek.