A Schwarzschild-sugár megadja egy ideális, nem forgó és elektromosan töltés nélküli fekete lyuk eseményhorizontjának sugarát. Kétszeres tömeghez kétszeres horizontsugár tartozik. Ha ebből a sugárból hagyományos gömbtérfogatot képezünk, a tömeggel osztott térfogat egészen más tömegfüggést mutat.
Ez a második számítás gyakran félreértéshez vezet. A horizont alapján képezhető formális átlagos sűrűség hasznos skálázási mutató, de nem írja le egy homogén anyaggömb belsejét. A téridő görbülete miatt a belső térfogat és anyageloszlás kérdése ennél összetettebb.
A tömeg és a horizont sugara
A képlet:
rs = 2 × G × M / c².
Az M a tömeg kilogrammban, G a gravitációs állandó, c a vákuumbeli fénysebesség. A példákban G = 6,67430 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²), c = 299 792 458 m/s. Ezekkel az rs méterben adódik.
A Schwarzschild-féle r koordinátát úgy definiáljuk, hogy az adott gömbfelület területe 4πr². A horizont sugara ezért jól meghatározott geometriai jellemző. Nem kell hozzá egy szilárd felületet vagy a szokásos értelemben vett gömbhéjat feltételezni.
A képletet bármilyen tömeghez ki lehet értékelni. Attól, hogy egy csillag vagy bolygó tömegéhez kiszámoltuk ezt a sugarat, a test még nem válik fekete lyukká. A tényleges térbeli állapota és a megfelelő relativisztikus feltételek is számítanak.
Első hipotetikus példa: tízszeres tömeg
Legyen az első idealizált fekete lyuk tömege 10³⁰ kg. A sugár:
rs = 2 × 6,67430 × 10⁻¹¹ × 10³⁰ / 299 792 458² ≈ 1485,23 m.
Ez körülbelül 1,485 km, tehát a horizont átmérője körülbelül 2,970 km. A sugár és az átmérő különbségét érdemes kiírni, mert egy „méret” megjelölésű adat könnyen összekeverhető.
A második hipotetikus tömeg 10³¹ kg, az első tízszerese. A horizont sugara 14 852,32 m, körülbelül 14,852 km. A tízszeres arányt újabb hosszú számolás nélkül is megjósolhatjuk, mert a képlet M-ben lineáris.
A felület ezzel szemben százszorosára nő, hiszen a sugár négyzetével arányos. A 4πrs² felületből képzett összehasonlítás ezért eltér a sugár alapján készült összehasonlítástól.
Második hipotetikus példa: formális átlagsűrűség
Definiáljunk egy összehasonlításra szolgáló mennyiséget:
ρformális = M / [(4π/3) × rs³].
A nevező az rs sugarú euklideszi gömb térfogatképlete. Ezzel a 10³⁰ kg tömeghez körülbelül 7,287 × 10¹⁹ kg/m³ érték tartozik. A 10³¹ kg tömeghez körülbelül 7,287 × 10¹⁷ kg/m³ adódik.
A nagyobb fekete lyukhoz tehát ebben a pontosan megadott definícióban százszor kisebb formális átlagsűrűség tartozik. Az ok közvetlenül követhető: tízszeres tömeghez tízszeres sugár, a sugárhoz ezerszeres geometriai térfogat tartozik. A hányados szorzója 10 / 1000 = 1/100.
Általánosan rs arányos M-mel, így ρformális arányos 1/M²-tel. Kétszeres tömeghez negyedakkora, százszoros tömeghez tízezerszer kisebb ilyen mutató tartozik. Ez az arányosítás a konstansok ismételt behelyettesítése nélkül is ellenőrizhető.
Mit nem állít ez az átlagsűrűség?
Az eredményből nem következik, hogy a horizont belsejét egyenletes sűrűségű, hétköznapi anyag tölti ki. A használt térfogatképlet itt kifejezetten formális összehasonlítást szolgál. A fekete lyuk belsejének téridőbeli leírását az általános relativitás megfelelő modellje adja.
A horizonton átjutó és a távoli megfigyelők leírása is különbözik. A számolt sugárból önmagában sem a környező gáz fényessége, sem a megfigyelt fekete lyukárnyék látszó átmérője nem vezethető le közvetlenül. A megfigyelés geometriája és a fény terjedése további tényezőket ad.
Forgó fekete lyuknál a Schwarzschild-modell helyett forgást is tartalmazó leírás szükséges. A fekete lyuk sugár kalkulátor a tömeghez kapcsolódó sugarak értelmezésében ad segítséget. Saját számításnál rögzítsd, hogy a nem forgó modellt használod, majd külön nevezd meg a sugarat, az átmérőt és a formális sűrűséget. Ez megakadályozza, hogy azonos mértékegység nélküli „méretadatokból” téves következtetés szülessen.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Minden helyes válasz 1 pontot ér.
1. Tízszeres tömeghez mekkora Schwarzschild-sugár tartozik?
- A) Tízszeres.
- B) Százszoros.
- C) Tizedakkora.
2. Hogyan változik a cikkben definiált formális átlagsűrűség tízszeres tömegnél?
- A) Tízszeresére nő.
- B) Változatlan marad.
- C) Századrészére csökken.
3. Mit jelent a formális sűrűségszámítás?
- A) A belső anyag minden pontban azonos sűrűségének bizonyítását.
- B) A tömeg és az rs sugarú euklideszi gömbtérfogat meghatározott hányadosát.
- C) A megfigyelt árnyék közvetlen átmérőjét.
Megoldások és indoklás
- 1. A: Az rs = 2GM/c² kapcsolat a tömegben lineáris.
- 2. C: A tömeg tízszeres, a sugárból képzett geometriai térfogat ezerszeres, így a hányados századrész.
- 3. B: A definíció skálázási összehasonlításra alkalmas; a belső anyageloszlást és a görbült téridő térfogatát nem azonosítja.
Mit jelent a pontszámod?
- 0–1 pont: Válaszd szét a sugarat, átmérőt és térfogatot. Ezután vezesd végig a tízszeres tömeghez tartozó 10, 100 és 1000 szorzókat.
- 2 pont: A tömeg–sugár kapcsolatot érted. Nézd át még, milyen értelemben formális az átlagsűrűség, és miért csökken a tömeggel.
- 3 pont: A három kérdésben helyesen kezelted az arányokat és a sűrűség definícióját. Következőként számolj kétszeres tömeggel, és ellenőrizd a negyedakkora sűrűségarányt.
