Egy rendezvény három programjára lehet jelentkezni, és ugyanaz az ember többet is választhat. A programonkénti létszámok összeadása ilyenkor a jelentkezések számát adja. Az egyedi résztvevők számához az átfedéseket is ismerned kell. Ugyanez történik több jelölhető válaszos kérdőívnél, tanfolyamlisták vagy érdeklődési körök összesítésénél.
A háromhalmazos létszám kalkulátor a három csoport, a páros metszetek és a hármas metszet alapján szétbontja a résztvevőket hét elkülönülő csoportba. A felület a teljes vizsgált létszámot is kéri: ebből számolja ki a minden programból kimaradók számát.
A páros metszet pontos jelentése
Jelöljük A-val, B-vel és C-vel a három programra jelentkezők halmazát. Az A és B metszete mindenkit tartalmaz, aki A-ra és B-re is jelentkezett. Azok is ide tartoznak, akik közben C-re szintén jelentkeztek. A „pontosan A és B” megfogalmazás ezzel szemben kizárja a C-hez tartozókat.
Ez az eltérés a bemeneti adatoknál különösen fontos. Ha a kérdőíves rendszer azt írja, hogy 17 ember pontosan az első két programot választotta, és 8 ember mindhármat, akkor az A és B metszet mezőbe 17 + 8 = 25 kerül.
Az OpenStax három halmaz műveleteiről szóló fejezete részletesen megkülönbözteti ezeket a tartományokat. A teljes csoport nyolc elkülönülő részre bontható: három csak egyes, három pontosan páros, egy hármas és egy mindenen kívüli részre.
Egy 120 fős, végigszámolt példa
Képzelj el 120 megkérdezett résztvevőt. A programra 62, B-re 48, C-re 40 fő jelentkezett. A páros metszetek: A és B 25 fő, A és C 20 fő, B és C 15 fő. Mindhárom programot 8 ember választotta. A példa feltételezi, hogy minden adat ugyanabból a 120 fős körből, azonos időpontban származik.
Kezdd a hármas metszettel: oda 8 kerül. Ezután a pontosan két programot választók következnek. Csak A és B: 25 − 8 = 17 fő. Csak A és C: 20 − 8 = 12 fő. Csak B és C: 15 − 8 = 7 fő.
A kizárólag A programot választók száma 62 − 17 − 12 − 8 = 25. Kizárólag B-re 48 − 17 − 7 − 8 = 16 fő jelentkezett. Kizárólag C-re 40 − 12 − 7 − 8 = 13 fő. Most már minden jelentkező egyetlen elkülönülő csoportban szerepel.
A hét belső csoport összege 25 + 16 + 13 + 17 + 12 + 7 + 8 = 98. A programok közül egyet sem választók száma 120 − 98 = 22. Az eredeti 150 jelentkezés mögött tehát 98 különböző ember áll.
A szitaformula ugyanennek a rövid alakja
Az egyes csoportokat összeadva minden pontosan két csoporthoz tartozó embert kétszer számolunk. A mindháromhoz tartozókat háromszor. A páros metszetek levonásával a páros átfedések rendeződnek, a hármas rész viszont teljesen kiesik. Ezt egyszer vissza kell adni.
Legalább egy csoport létszáma = A + B + C − AB − AC − BC + ABC.
A példában 62 + 48 + 40 − 25 − 20 − 15 + 8 = 98. A Ohio State University szitaformulát tárgyaló tananyaga a több halmazra vonatkozó összefüggést is levezeti. A rövid képlet használatakor ugyanaz a metszetértelmezés szükséges, mint a részletes felbontásnál.
A képlet eredményét érdemes a hét külön tartomány összegével is ellenőrizni. Ha a két út eltérő számot ad, általában egy metszetet rosszul értelmeztél vagy egy kivonás maradt ki. A kalkulátor a részletes bontással segít megtalálni az ilyen eltéréseket.
Pontosan egy, pontosan kettő és legalább kettő
A példában pontosan egy programot 25 + 16 + 13 = 54 ember választott. Pontosan két programot 17 + 12 + 7 = 36 ember. Legalább két programot a pontosan kettőt és a mindhármat választók együtt: 36 + 8 = 44 ember.
A „legalább” szó miatt az utolsó két eredmény különbözik. Hasonlóan, a „legfeljebb egy program” a 22 kívül maradót is tartalmazza, így 22 + 54 = 76. A „legalább egy program” pedig az összes belső csoport, vagyis 98.
A jelentkezési terhelés ellenőrzéséhez súlyozhatod is a csoportokat: 54 × 1 + 36 × 2 + 8 × 3 = 150. Ugyanez adódik az A, B és C programlétszámának összegéből. Ez a szám például összes programhely-igényt mutathat, miközben a belépők számának tervezéséhez a 98 egyedi személy lehet releváns.
Százalékot csak megnevezett alaphoz számolj
A 98 jelentkező a teljes 120 fős kör 81,666…%-a. A 44 többprogramos résztvevő a teljes kör 36,666…%-át, a legalább egy programot választók 44 / 98 × 100 = 44,8979…%-át adja. A két százalék eltérő kérdésre válaszol.
A százalékkalkulátorban az alaphoz írd a megfelelő létszámot. Ha jelentkezési arányt mutatsz a szervezőknek, a megkérdezettek vagy meghívottak köre lehet az alap. Ha a résztvevők összetételét elemzed, a ténylegesen jelentkezők köre lehet megfelelő. A tájékoztatóban ezt röviden tüntesd fel.
A több válasz jelölését engedő kérdőíveknél a programonkénti százalékok összege meghaladhatja a 100%-ot. A példában a 150 jelentkezés / 120 ember = 125%. Ezt a jelenséget önmagában nem kell javítani; az értelmezést kell egyértelművé tenni.
Hogyan ismerd fel az ellentmondó adatokat?
Minden elkülönülő tartomány létszáma legalább nulla. A hármas metszet legfeljebb akkora lehet, mint bármelyik páros metszet. Egy páros metszet legfeljebb akkora lehet, mint a két érintett csoport kisebbike. Ezek gyorsan ellenőrizhető szükséges feltételek.
Önmagukban mégsem elegendők. Legyen A = 10, AB = 8, AC = 7, ABC = 2. A kizárólagos rész 10 − 8 − 7 + 2 = −3 lenne. A megadott adatok együtt így nem valósíthatók meg, pedig a páros metszetek külön-külön kisebbek A-nál.
Gyakori ok, hogy az egyik jelentés csak aktív regisztrációkat, a másik már lemondott jelentkezéseket is tartalmaz. Máskor a duplikált személyek vagy eltérő időpontok okozzák az eltérést. A negatív eredmény észlelésekor először az adatdefiníciókat ellenőrizd, majd a forráslistákat.
Két halmaz és a hiányzó hármas adat
Két csoporthoz a C, AC, BC és ABC értékét nullára állíthatod. Ekkor a képlet A + B − AB alakra egyszerűsödik. Három csoportnál viszont a hármas metszetet általában nem lehet elhagyni: eltérő ABC érték más egyedi összlétszámot eredményezhet.
Ha a teljes unió is ismert, a képletből a hármas metszet visszaszámítható, majd az összes tartományt ellenőrizni kell. A törtkalkulátor a létszámokból képzett pontos arányokhoz ad segítséget. A megbízható végső feljegyzés tartalmazza a teljes vizsgált kört, a csoportok definícióját, az adatfelvétel időpontját és azt is, hogy a páros metszetekbe beleszámítottak a mindháromhoz tartozók.