Egy táblázat 20 és 40 fokhoz tartalmaz értéket, neked viszont 27 fokra lenne szükséged. Ha a két pont között egyenes vonalú változást feltételezel, lineáris interpolációval számolhatsz. Az eredmény gyorsan előáll, de a művelet feltételezését is meg kell tartanod: a két adatpont önmagában nem bizonyítja a kapcsolat linearitását.
A lineáris interpoláció kalkulátor a két pontból számolt egyenest, a meredekséget és a keresett köztes értéket is megmutatja. Ha a keresett x kilép az ismert pontok közül, külön jelzi az extrapolációt. A következő példák kitalált adatokkal mutatják be a módszert, mérőműszerre vagy valódi érzékelőre vonatkozó gyártói állítás nélkül.
A köztes helyzet arányát keresed
Jelöljük a két pontot (x₁; y₁) és (x₂; y₂) alakban. A keresett x a két ismert x-érték közötti távolság egy bizonyos részén helyezkedik el. Ezt az arányt adja a t = (x − x₁) / (x₂ − x₁) hányados.
Ha t = 0, az első pontnál vagy. Ha t = 1, a másodiknál. Ha t = 0,5, félúton. A hozzá tartozó y az első y-értékhez képest a teljes y-változás ugyanekkora részével módosul: y = y₁ + t × (y₂ − y₁).
A kettőt összeírva y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). A NIST DLMF interpolációs fejezete a lineáris és magasabb rendű interpoláció matematikai hátterét is tárgyalja. Hétköznapi használatnál a köztes arány megértése általában elég a képlet ellenőrzéséhez.
Egy szemléltető jelátalakítás végigszámolva
Képzelj el egy példabeli mérési táblázatot: 20 °C mellett 2,10 V, 40 °C mellett 2,90 V szerepel. A 27 °C-hoz tartozó, lineárisan becsült feszültséget keresed. Az x-tartomány 20 fok széles, a keresett pont 7 fokkal van az alsó érték felett.
A helyzet aránya t = 7 / 20 = 0,35. A teljes feszültségváltozás 2,90 − 2,10 = 0,80 V. Ennek 35%-a 0,28 V, így a becslés 2,10 + 0,28 = 2,38 V.
A meredekség 0,80 / 20 = 0,04 V/°C. Ez azt jelenti, hogy a felállított egyenes minden egyfokos x-növekedéshez 0,04 voltos y-növekedést rendel. A meredekség egységét a két tengely egységéből kapod; ez segít észrevenni a tévesen felcserélt adatokat.
A kalkulátorba az első pont x-értékének 20-at, y-értékének 2,10-et, a második pont koordinátáinak 40-et és 2,90-et adj meg. A keresett x legyen 27. Az eredmény 2,38, amely a példában voltot jelent. Az egységeket a saját feljegyzésedben is tartsd meg.
Három gyors ellenőrzés
Először helyettesítsd vissza a két végpontot. x = 20-nál 2,10, x = 40-nél 2,90 adódik. Ha a számítás nem adja vissza a bemeneti pontokat, elírás vagy rossz képlet szerepel benne.
Másodszor nézd meg a középpontot. x = 30 a két x átlaga, ezért az egyenes y-értéke a két y átlaga: (2,10 + 2,90) / 2 = 2,50. Ez a középponti ellenőrzés csökkenő egyenesnél is működik.
Harmadszor vizsgáld a sorrendet. A 27 az alsó x-értékhez van közelebb, ezért a 2,38 is az alsó y-értékhez kerül közelebb. A 2,10 és 2,90 közötti, növekvő lineáris szakaszon a becsült köztes értéknek e két szám közé kell esnie.
Visszafelé is számolhatsz, megfelelő feltételekkel
Ha 2,50 V-hoz keresed a példabeli hőmérsékletet, felcserélheted a két tengelyt. A pontok ekkor (2,10; 20) és (2,90; 40), a keresett bemenet 2,50. A feszültségkülönbség fele 0,40 V, ezért a becsült hőmérséklet a 20 és 40 közötti félút, vagyis 30 °C.
Az eredeti két y-érték ilyenkor legyen különböző. Vízszintes szakasznál ugyanahhoz az y-hoz sok x tartozhat, ezért az inverz számítás nem ad egyedi választ. Nem monoton, több mérési pontból álló görbén egy keresett y több helyen is előfordulhat; ilyenkor a megfelelő tartományt előbb ki kell választanod.
Az x-koordináták azonossága az eredeti számításban is problémát okoz. Az x₂ − x₁ nevező nullává válna. Ha két ismételt mérés ugyanahhoz az x-hez eltérő y-t ad, először az ismétlések értékelésével foglalkozz, majd másik, eltérő x-értékű ponttal állíts fel köztes becslést.
Extrapoláció: amikor az ismert tartományon kívül számolsz
A 20–40 °C közötti példabeli adatokból 50 °C-ra az egyenes 3,30 V-ot adna. A képlet végrehajtható, de a keresett pont már kívül esik az ismert tartományon. Ezt nevezzük extrapolációnak.
Az egyenes meghosszabbítása nem ad új mérést. A valódi folyamat telítődhet, görbülhet vagy más működési tartományba léphet. A NIST mérési tartományon kívüli modellhasználatról szóló útmutatója az interpoláció és extrapoláció kockázatát egyaránt megemlíti. A tartományon belüli becslés is tévedhet, a kívülre történő kiterjesztéshez pedig különösen erős szakmai indok szükséges.
Ha a számítás fizikai korlátot sért, például negatív darabszámot vagy a készülék tartományán kívüli kimenetet ad, állj meg a modell ellenőrzésénél. Egy pontosan kiszámolt hányados sem teszi érvényessé a helytelen feltevést.
Két pont tökéletes illeszkedése nem igazolja a linearitást
Nézzünk tisztán matematikai ellenpéldát: a valódi függvény legyen y = x². Az x = 10 ponthoz 100, az x = 20 ponthoz 400 tartozik. A két pont közötti lineáris becslés x = 15-nél 250. A függvény tényleges értéke viszont 225.
A különbség 25, a tényleges értékhez viszonyított eltérés körülbelül 11,11%. A két végpont mindkét összefüggésen pontosan rajta van. Egy harmadik, köztes mérés már képes megmutatni a különbséget. A grafikus számológépben az y = x² és a két ponton átmenő y = 30x − 200 függvényt egymás mellett vizsgálhatod.
Sűrűbb táblázatnál a keresett x-et közrefogó, szomszédos pontokkal számolj, ha a helyi lineáris közelítés szakmailag indokolt. Az egymástól nagyon távoli végpontok közé húzott egyenes elrejtheti a köztes görbületet.
A mérési bizonytalanságot külön kezeld
A bemeneti pontok mérési bizonytalansága az interpolált értékben is megjelenik. Ehhez hozzáadódhat a lineáris modell közelítési hibája. Az interpolációs eszköz önmagában az egyenest számolja ki; a kijelzett sok tizedes nem jelent ugyanilyen mérési pontosságot.
A mérési bizonytalanság kalkulátor független bemenetek elsőrendű terjedéséhez használható. Közös kalibrálásból származó, összefüggő mérési hibáknál további kezelés szükséges. A saját jegyzetben ezért a két eredeti adatpontot, a forrásukat, a mértékegységeket, a keresett értéket és a választott közelítést is őrizd meg. Ebből később ellenőrizhető, hogy az eredmény milyen tartományban és milyen feltételekkel használható.