Ha két terméktípus darabszáma ismeretlen, de a teljes darabszám, a két egységár és az összérték ismert, két egyenletet írhatsz fel. A megoldást azután az egész, nem negatív darabszám követelményével is ellenőrizni kell. Egy algebrailag helyes 11,4 darabos eredmény egész jegyek esetén adatellentmondást jelez.
A számítás akkor írja le a helyzetet, ha az összes tétel valóban a két ismert ár valamelyikén szerepel. Visszatérítés, harmadik árkategória vagy külön díj esetén előbb ezeket kell tisztázni az összesítőben.
Két ár, huszonnégy jegy
Szemléltető példánkban egy eseményre 24 jegyet adtak el. A feltételezett teljes ár 2800 Ft, a kedvezményes ár 1800 Ft, a jegyek összértéke 54 200 Ft. Jelölje x a teljes árú, y a kedvezményes jegyek számát.
A darabszám egyenlete x + y = 24. A bevételé 2800x + 1800y = 54 200. Az elsőből y = 24 − x, ezt behelyettesítve 2800x + 1800 × (24 − x) = 54 200.
A zárójel felbontása 2800x + 43 200 − 1800x = 54 200 alakot ad. Az azonos tagok összevonása után 1000x = 11 000, tehát x = 11. A másik darabszám y = 24 − 11 = 13.
A behelyettesítéses módszert az OpenStax kétismeretlenes egyenletrendszerekről szóló fejezete is végigvezeti. A jegyárak és az értékesítési adatok itt kitalált szemléltető adatok.
Az eredmény kétféle ellenőrzése
A teljes árú jegyek értéke 11 × 2800 = 30 800 Ft. A kedvezményeseké 13 × 1800 = 23 400 Ft. Összegük 54 200 Ft, a darabszám 11 + 13 = 24. Az eredmény mindkét eredeti egyenletnek megfelel.
Egy másik gondolatmenet ugyanide vezet. Ha mind a 24 jegy 1800 Ft-os volna, a bevétel 43 200 Ft lenne. A ténylegesként megadott összeg 11 000 Ft-tal több. Minden teljes árú jegy 1000 Ft-tal növeli ezt az alapösszeget, ezért 11 000 / 1000 = 11 ilyen jegy kellett.
Az általános összefüggés ebből x = (B − n × p₂) / (p₁ − p₂), ahol B az összérték, n a darabszám, p₁ a drágább és p₂ az olcsóbb egységár. Ezt csak különböző p₁ és p₂ áraknál használhatod.
Mit árul el a tört darabszám?
Ha a megadott összérték 54 600 Ft lenne, ugyanebből a képletből x = (54 600 − 43 200) / 1000 = 11,4 következne, y pedig 12,6 lenne. Ezek valós számként megoldják az egyenleteket, egész jegyek számának azonban nem felelnek meg.
Ilyenkor a kerekítés nem javítja az adatot. A 11 és 13 darab 54 200 Ft-ot adna, a 12 és 12 darab pedig 55 200 Ft-ot. Az eltérést okozhatja elírás vagy kihagyott árkategória; a számítás az okot nem dönti el, csak a kétáras modell hibáját mutatja meg.
A bevétel gyors határellenőrzése is hasznos. Huszonnégy jegy e két áron legalább 43 200 és legfeljebb 67 200 Ft-ot jelenthet. Ezen a tartományon belül az egész darabszám még külön követelmény, ezért a tartományba esés önmagában kevés.
A két egyenlet legyen független
Ha a második sor csak az első kétszerese, például x + y = 24 és 2x + 2y = 48, nincs új információ a megoszlásról. Sok számpár megfelel. Ha a második jobb oldal 50, a két sor egymásnak ellentmond, így nincs megoldás.
A lineárisegyenletrendszer-kalkulátorban válaszd a kétismeretlenes módot. Az első sorba 1, 1, 24; a másodikba 2800, 1800, 54 200 kerüljön. A kapott 11 és 13 mellé írd oda, melyik jegytípust jelöli, majd végezd el a darabszám- és összérték-ellenőrzést is.